Extrema und globale Maxima und Minima sowie Ortskurve

Question

Hi Leute.

Hänge an einer Aufgabe fest.

Meine Aufgabe "Untersichen Sie die Funktion f auf Extrema und charakterisieren Sie diese hinsichtlich lokale bzw. globale Maxima und Minima. Geben Sie zudem die Ortskurve der Extrema in Abhängigkeit vom Parameter a an"

f(x) =   (x³ / (x²-a))

Mein Vorgehen: Da ich die Extrema suche, habe ich erstmal die erste Ableitung gebildet.

Da bekam ich:   f´(x)  = x² ( x² - 3a ) / ( x²-a )²

So dann wollte ich das erste x² wegbekommen sowie die Klammer im Nenner. Dann bekam ich:

f´(x) = x^4 - 3ax² / x^4 - 2ax² + a²

Dann wollte ich dies ausklammern und fing mit x² an, sodass am Ende nur noch x² - 3a / x² - 2a + a da stand.

Aber irgendwie weiß ich jetzt nicht weiter :/

Answer 1

f´(x) = x⁴ - 3ax² / x⁴ - 2ax² + a²

Klammerung vergessen

f´(x) = ( x⁴ - 3ax²)  /( x⁴ - 2ax² + a²)

Ansonsten ist die Ableitung richtig. Wir suchen
f ´( x ) = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist. Also nur
x⁴ - 3ax² = 0
Zur Lösung ausklammern
x^2 *( x^2 - 3a ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x^2 = 0
x = 0
und
x^2 - 3a = 0
x = ±√ (3a)

x = 0 ist ein Sattelpunkt.

Soweit erst einmal.
Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Oh Danke sehr nett! :) Hat mir sehr geholfen!

Answer 2

du hast

f ' (x) = (x⁴-3ax²)/((2-a)²)

löse die Klammern nicht auf,

setze die 1. Ableitung gleich Null

x⁴-3ax²=0

x²(x²-3a)=0

an den Stellen x=0 und x=+-wurzel(3a) liegen möglicherweise Extremstellen vor, überprüfe das durch die 2. Ableitung

nun zur Ortskurve, aus x²-3a=0 folgt a=x²/3, einsetzen in die gegebene Funktion

f(x)= x³/(x²-a)

f_k(x)=(x³)/(x²-x²/3)=(x³)/(2/3x²)=1,5x

Answer 3

f(x) = x^3 / (x^2 - a)

f'(x) = (x^4 - 3·a·x^2) / (x^2 - a)^2 [Der Nenner wird nie ausmultipliziert. Und dann bitte auch nicht falsch kürzen.]

f''(x) = (2·a·x^3 + 6·a^2·x) / (x^2 - a)^3

Extrempunkte f'(x) = 0 [man braucht nur den Zähler = 0 setzen]

x^4 - 3·a·x^2 = x^2·(x^2 - 3·a) = 0 --> x = 0 ∨ x = ± √(3·a)

f(0) = ...

f(√(3·a)) = ...

weiterhin nutze die Symmetrie von f(x) für die 3. Extremstelle und das Verhalten im an den Grenzen des Definitionsbereiches um die Art der Extrema zu bestimmen.

Ortskurve der Extrempunkte

x^4 - 3·a·x^2 = 0 --> a = x^2/3

y = x^3 / (x^2 - (x^2/3)) = 1.5·x

Comments

Weniger ist mehr !

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Die Steigerung von Weniger ist mehr !
Und für Kommentare von hj2177 gilt :
Am Besten gar nichts.