Beweis stetige Funktion

Question

Hey habe hier eine Ausarbeitung meines Beispiels,  stimmt mein erster Beweis, fehlt da noch etwas oder muss ich etwas streichen? 

Und wie komme ich bei meinem zweiten Beweis weiter? 

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Ich kann deinem Beweis - ehrlich gesagt - nicht folgen. Ich würde es wohl mit dem Folgenkriterium versuchen,

Sei xn eine Folge, die gegen xo konvergiert. Dann ist für die Stetigkeit von h in xo zu zeigen:

  h(x_n) ist eine Folge, die gegen h(x_o) konvergiert.

Dem ist so, weil wegen der Stetigkeit von f und g sowohl  f(xn) als auch g(xn) Folgen sind, die gegen

f(xo) bzw. gegen g(x0) konvergieren.   Wegen f(x)≤h(x)≤g(x) gilt auch für alle xn

f(xn)≤h(xn)≤g(xn) und da    f(xn) und  g(xn)gegen den gleichen Grenzwert konvergieren,

tut nach dem entsprechenden Satz über Folgen auch h(xn) dies und konvergiert gegen h(x0), denn

wegen f(xo)≤h(x0)≤g(x0)   und    f(xo) = g(x0) ist dies auch gleich h(xo).