Ich kann deinem Beweis - ehrlich gesagt - nicht folgen. Ich würde es wohl mit dem Folgenkriterium versuchen,
Sei xn eine Folge, die gegen xo konvergiert. Dann ist für die Stetigkeit von h in xo zu zeigen:
h(xn) ist eine Folge, die gegen h(xo) konvergiert.
Dem ist so, weil wegen der Stetigkeit von f und g sowohl f(xn) als auch g(xn) Folgen sind, die gegen
f(xo) bzw. gegen g(x0) konvergieren. Wegen f(x)≤h(x)≤g(x) gilt auch für alle xn
f(xn)≤h(xn)≤g(xn) und da f(xn) und g(xn)gegen den gleichen Grenzwert konvergieren,
tut nach dem entsprechenden Satz über Folgen auch h(xn) dies und konvergiert gegen h(x0), denn
wegen f(xo)≤h(x0)≤g(x0) und f(xo) = g(x0) ist dies auch gleich h(xo).