2 gleichmäßig stetige Funktionen. Beweis zur Cauchy-Folge und Verknüpfung

Question

Aufgabe:

Seien \( D_{f}, D_{g} \subset \mathbb{R} \). Seien \( f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: D_{g} \rightarrow \mathbb{R} \) zwei gleichmäßig stetige Funktionen mit \( g\left(D_{g}\right) \subset D_{f} \). Beweisen Sie:

(a) Ist \( \left(a_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \subset D_{f} \) eine Cauchy-Folge, so ist \( \left(f\left(a_{j}\right)\right)_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) auch eine Cauchy-Folge.
(b) \( f \circ g: D_{g} \rightarrow \mathbb{R} \) ist gleichmäßig stetig.

Wie kann man die beiden Teilaufgaben beweisen?

Answer 1

a) Sei also \( \left(a_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy Folge in \( \mathrm{D}_{f} . \) Sei nun \( \epsilon>0 \) beliebig. Dann existiert (wegen der gleichmässigen Stetigkeit von \(f\)) ein \( \delta>0 \) sodass
\( \forall x, y \in \mathrm{D}_{f}:|x-y|<\delta \Longrightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon \)
Es existiert weiterhin ein \( N \) (da \(a_n\) eine Cauchy Folge ist) sodass
\( \forall n, m \geq N:\left|a_{n}-a_{m}\right|<\delta \)
und somit
\( \forall n, m \geq N:\left|a_{n}-a_{m}\right|<\delta \Longrightarrow\left|f\left(a_{n}\right)-f\left(a_{m}\right)\right|<\epsilon \)

b) Probier das mal selbst, du musst wirklich nur die Definition von gleichmässiger Konvergenz hinschreiben und dann wirst du verstehen, wie es funktioniert.