Gibt es Funktionen die unstetig aber gleichmäßig stetig sind?

Question

Hallo, ich habe zwei Fragen:

1. Gibt es Funktionen die unstetig aber gleichmäßig stetig sind?

2. Habe ich die Funktion \( \frac{1}{x} \) gegeben und soll sie auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit untersuchen, im Definitionsbereich von 1 bis unendlich.

Ich habe zu 2.) als Antwort, das Sie stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist. stimmt das?

Answer 1

Auf dem Definitionsbereich von 1 bis ∞ ist 1/x gleichmäßig stetig.

Answer 2

Zu 1) nein, da jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig sein muss. Wenn es ein δ für ε unabhängig von x gibt, dann existiert dieses δ natürlich für jedes x.

Zu 2) setze δ = ε., dann wird die Forderung der Stetigkeit für alle x erfüllt.

I x-yI <  δ  und I 1/x - 1/yI < ε

da I1/x - 1/yI = Ix-yI / x*y <|x-yI < δ =ε

Es existiert also ein von x unabhängiges δ, welches die Forderung erfüllt, also ist die Funktion gleichmäßig stetig.