Integralrechnung Hilfe (patielle Integration und Substitution)

Question

Hallo benötige Hilfe bei folgenden Integralen:

$$\int { 2x\sqrt { x-1 } dx } $$

Hätte es jetzt hier mit der partiellen Integration versucht.

2x differenziert und Wurzel x-1 integriert

und hier:

$$\int { cos(3x)(sin^{ 2 }(3x))dx } $$

substituiert:

u=sin(3x)

Hätte ich dann int u^2 oder darf ich das wegen dem 3x nicht machen?

Danke schon mal:)

Comments

Warum versuchst du es nicht einfach? Zur Probe kannst du das Ergebnis ableiten und ggf. noch mal die Rechnung korrigieren.

Answer 1

∫ 2·x·√(x - 1) dx

= 2·x·2/3·(x - 1)^{3/2} - ∫ 4/3·(x - 1)^{3/2} dx

= 2·x·2/3·(x - 1)^{3/2} - 8/15·(x - 1)^{5/2}

= 4/15·(x - 1)^{3/2}·(3·x + 2) + c

Comments

∫ COS(3·x)·SIN(3·x)^2 dx

z = SIN(3·x)

1 dz = 3·COS(3·x) dx

dx = dz / (3·COS(3·x))

= ∫ COS(3·x)·z^2 dz / (3·COS(3·x))

= ∫ 1/3·z^2 dz

= z^3/9 + c

Resubst.

= SIN(3·x)^3/9 + c

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Wie genau kommst du auf den letzten Schritt, habe doch einen unterschiedlichen Exponenten, darf ich doch dann gar nicht ausklammern?

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Welchen schritt meinst du genau ?

Der nach

= ∫ COS(3·x)·z² dz / (3·COS(3·x)) 

Ich Klammer hier nicht aus sondern Kürze.

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Bei dem Integral mit der Wurzel

= 4/15·(x - 1)^3/2·(3·x + 2) + c

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= 2·x·2/3·(x - 1)^3/2 - 8/15·(x - 1)·(x - 1)^5/2

= 2·x·2/3·(x - 1)^3/2 - 8/15·(x - 1)·(x - 1)^3/2

= (2·x·2/3 - 8/15·(x - 1))·(x - 1)^3/2

= (4/5·x + 8/15)·(x - 1)^3/2

= 4/15·(3·x + 2)·(x - 1)^3/2

Answer 2

zu1)

-Faktor 2 vor das Integral.

- Substituiere  z= x-1 , dann hast Du 2 Teilintegrale

zu2)

Substituiere z= sin(3x)

Comments

wie substituiere ich dann aber das x vor der Wurzel?, da fehlt mir ja der Summand -1?