Absolute Konvergenz einer Reihe von einer Summe

Question

Erstmal natürlich frohes neues Jahr, ihr Lieben!

Ich sitze an dieser Aufgabe seit Tagen und weiß einfach nicht, womit ich das rechnen kann. Ich soll eine Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz prüfen. Erstere habe ich schon mit dem Leibnizkriterium und den Rechenregeln für konvergente Reihen bewiesen, aber die absolute Konvergenz - keine Chance.

∑^∞_n=1(1/(n²)+(-1)ⁿ/n) ist das gute Stück. Habe bereits versucht, das Cauchy-Kriterium mit dem Betrag der Reihe anzuwenden, da kam ich nicht weiter, das Minorantenkriterium erschien mir auch nicht zielführend, Quotientenkriterium ebenso. Was meint ihr? Ich weiß, dass der Betrag der alternierenden harmonischen Reihe divergent ist, aber da dann die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht greifen, brachte mich das auch erstmal nicht weiter.

Liebe Grüße

Answer 1

Mit der passenden Form der Dreiecksungleichung ist $$\left|\frac{1}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}\right|\ge\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\ge\frac{1}{2n}.$$