Als Erstes müasen wir schon vom physikalischen Sinn nachprüfen, dass w ( t ) auf dem gesamten Intervall differenzierbar ist. In jedem Bahnpunkt zeigt dann der Tacho eine eindeutige Geschwindigkeit an. Wohl können wir uns vorstellen, dass die Antriebskraft ( und damit die Beschleunigung ) Sprünge macht. Aber wenn wir in den Intervallgrenzen Sprünge der Geschwindigkeit zuließen, würde sich auch völlig unmotiviert die Bewegungsenergie des Ladfahlels ändern. t1 := 600 ; t2 := 900
Ach übrigens; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt " Bewegungsenergie " , nicht kinetische Energie. Noch ===> Hans Dominik verwendet in einem Roman den altertümlichen Ausdruck " lebendige Kraft " , den unsere Familie immer veräppelte als " lebendige Wucht "
w ' ( t1 ; links ) = 1/120 t1 = 600/120 = 60/12 = 5 ( 1a )
w ' ( t1 ; rechts ) = 5 ( 1b ) ; ok
w ' ( t2 ; links ) = 5 ( 2a )
w ' ( t2 ; rechts ) = 8 - 1/300 t2 = 8 - 900/300 = 5 ( 2b ) ; ok
Die Funktion ist differenzierbar auf dem gesamten Intervall - hinreichende Bedingung für Gültigkeit des MWS . Im Übrigen kannst du den MWS ( fast ) nie " anwenden " ; hier kennst du nicht den Witz " Der Matematiker und der Ballon " ?
" Guter Wandersmann; ich habe mich verflogen. Wo befinde ich mich? "
" In einem Ballon. "
" Darf ich daraus erschließen, dass Sie von Beruf Matematikprofessor sind? "
" Sollten Sie mich etwa kennen? "
" Nein sicher nicht. Für derlei Personen typisch ist allerdings, dass ihre Auskünfte genau so richtig wie nutzlos sind . . . "
Der MWS stellt eine reine Existenz-nicht einmal eindeutigkeitsaussage dar. Fasse ihn doch mal in ein anschauliches Bild. Sagen wir, HD ist von F entfernt 60 kleine Männer. Wenn deine Fahrzeit jetzt genau 60 min beträgt, dann ist es doch völlig Wurscht, ob du Raser bist oder 10 min im Stau stecken bleibst. Mit Sicherheit wird irgendwann dein Tacho Tempo 60 anzeigen. Gerade bei diesem Beispiel wirst du doch rein praktisch den Einwand vorbringen
" Angenommen ich wäre immer langsamer wie 60. Wie soll ich dann die Distanz in 60 min schaffen? Und wenn ich immer schneller wäre, würde ich es in weniger wie 60 min schaffen. "
Es ist die intuitive Fassung des MWS . Es ist aber auch nicht zu übersehen, dass sich nicht vorher sagen lässt, wann und wie oft Tachostand 60 erreicht wird ( Vielleicht beschließest du ja, mit konstant 60 zu fahren. )
Nein; du sollst nur mal an Hand eines konkreten Beispiels sämtliche Mittelwerte finden.
t3 := 1800 ; wir ermitteln die Durchschnittsgeschwindigkeit
w ( mit ) = w ( t3 ) / t3 = - 1/600 t3 + 8 - 2 850 / t3 = 5 - 285/180 = ( 3a )
= 5 - 19/12 = 41/12 ( 3b ) ; ( Der Bruch wurde gekürzt durch den ggt = 15 )
Ich hab eindeutig was andres raus wie du; findest du Rechenfehler? Auf Grund der Grenzgeschwindigkeit 5 km/h gibt es schon mal einen Zeitpunkt im ersten Intervall.
w1 ' ( t ) = 1/120 t = 41/12 | * HN ( 3c )
t ( mit ; 1 ) = 410 ( 3d )
Halt; wir sind noch lange nicht fertig. Im 3. Intervall mit dem negativen Vorzeichen hast du eindeutig eine Bremsung; vielleicht sogar Richtungsumkehr. Dies zu klären, ist an sich nicht Teil der Aufgabe. wir müssen aber den zweiten Mittelwert suchen.
w3 ' ( t ) = 8 - 1/300 t = 41/12 | * HN ( 4a )
2 400 - t = 41 * 25 ( 4b )
Halt Stop; wegen ( 100 = 4 * 25 ) enthält die 2 400 auch einen Teiler 25 , den wir ausklammern können.
t ( mit ; 3 ) = 25 ( 96 - 41 ) = 25 * 55 ( 4c )
Zwei Möglichkeiten. Aus einem frz. Film, der in einem Brettergymnasium spielte, entnahm ich einen Schmuddeltrick, wie du eine Zahl " Mal 25 " nimmst.
t ( mit ) = 55 * 25 = 55 * 100/4 = 5 500/4 = 1 375 ( 4d )
Oder du gehst über die 3. binomische; das hätte mein Chef gemacht. Der aritm. Mittelwert von 25 und 55 beträgt 40 ( 25 + halbe Differenz )
55 * 25 = ( 40 + 15 ) ( 40 - 15 ) = 1 600 - 225 = 1 575 ( 4e )
Damit liegt aber ( 4c ) eindeutig im 3. Intervall; das ist wohl, was du lernen sollst. eindeutigkeit ist in der Regel nicht gegeben.
