Wie werden c und beta geschätzt beim exponentiellen Abfallen? Bedrohte Art von Grosstieren

Question

Von einer vom Aussterben bedrohten Art von Großtieren zählte man in den letzten acht Jahren die nachstehend aufgelisteten Bestände (Anzahl der Tiere):

831, 766, 601, 550, 520, 477, 451, 432

Nimmt man für die Anzahl Y im Jahr n, n = 0,1,2,..., exponentielles Abfallen gemäß Y(n) = c*e^{-beta*n} an, so kann man Schätzungen für c und beta aus den Daten erhalten. Ermitteln Sie diese Schätzungen und geben Sie damit die Schätzung des Bestands im übernächsten Jahr an.

1. Zwei Gleichungen aufstellen, in jede Gleichung wird ein Wertepaar eingesetzt.
2. Die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren, dabei fällt ln(c) weg.
3. k berechnen.
4. In eine der beiden Gleichungen einsetzen, um ln(c) zu berechnen, dann kann man leicht c berechnen.
5. Gleichung anschreiben.

ln(831)= - beta *1+ln(c)
ln(766)= -beta *2 +ln(c)

6,7 = -beta *1 + ln(c) | (-)

6,6= -beta *2 +ln(c)

0,1 = beta

6,6 = -0,1 *2 +ln(c)

6,8 = ln(c)

c= e^6,8

ne das kann nicht sein oder?

Comments

Kann nicht sein

;-)

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Wenn man die Abfälle zum Vorjahr ausrechnet ergibt sich folgendes Bild:

Jahr   Tiere   Abfall

0         831       -

1         766       0.9218

2         601       0.7846

3         550       0.9151

4         520       0.9455

5         477       0.9173

6         451       0.9455

7         432       0.9579

Also ergibt sich bis auf Jahr 2 ein Abfall von ganz grob 0.9 = 90 %. Im Jahr 2 haben wir ein Abfall von ungefähr 80 % also etwa den Abfall von 2 bis 3 Jahren

Hier einmal die Rechnung bei Einschiebung von 2 Jahren:

 

Lineare Regression

	y = c * e^-(b * n)		z = ln y = (ln c) - b * n
	Jahr ni	f'(n)	Tiere yi	log yi	ni -n	zi -z	(ni -n)*(zi -z)	(ni -n)^2
	0 1	819 760,0382165	831 766	6,722629795 6,64118217	-5 -4	0,388434369 0,306986744	-1,942171845 -1,227946975	25 16
Summe	1	1579,038216	1597	13,36381196		0,695421113	-3,17011882	41
	4 5 6 7 8 9	607,4212978 563,6915749 523,1100601 485,4501064 450,5013835 418,0687033	601 550 520 477 451 432	6,398594935 6,309918278 6,253828812 6,167516491 6,11146734 6,068425588	-1 0 1 2 3 4	0,064399509 -0,024277148 -0,080366614 -0,166678935 -0,222728086 -0,265769838	-0,064399509 0 -0,080366614 -0,33335787 -0,668184259 -1,063079351	1 0 1 4 9 16
Summe	39	3048,243126	3031	37,30975144		-0,695421113	-2,209387603	31
Gesamt	40	4627,281342	4628	50,67356341			-5,379506423	72
Erwartungswert = Gesamt / 8	5	578,4101678	578,5	6,334195426			-0,672438303	9
	6
Prognose1 Prognose2	10 11	387,9709299 360,0399678
-b = -0.6724383 / 9 =		-0,074715367		e^-b  =	0,92800759
ln c = 6.33419543 - (-0.07471537) * 5 =		6,707772261		c = e^{lnc} =	818,7446568	=	819
Regressionsfunktion			f(n) = 819 * e^{-0.07471537 * n}

Answer 1

ich gehe einmal von der Formel  f(x) = c*e^-beta*n

und den beiden Wertepaaren

x = 0 ;  f(x) = 831
x = 1 ;  f(1) = 766
 

f(0) = c*e^{-beta*0} = 831 Ι e^{-beta*0} = e^0 = 1
f(0) = c = 831
f(1) = c*e^{-beta*1} =766
f(1) = 831 * e^{-beta} = 766
e^{-beta} = 766/831 = 0.92178
-beta= ln(0.92178)
-beta = -0.081
beta = 0.081

f(x) = 831 * e^{-0.081 * n}

Probe :

n = 0
f(0) = 831 * e^{-0.081 * 0}
f(0) = 831

n = 1
f(1) = 831 * e^{-0.081 * 1}
f(1) = 831* 0.922
f(1) = 766

Hier sollte man doch die Wertepaare in ein Diagramm einzeichnen um sich einmal einen
Überblick über die Abweichungen der Einzelwerte von der gefundenen Beziehung zu verschaffen.

mfg Georg

Bei Fehlern oder Fragen bitte melden.

 

 

Comments

Okay vielen Dank!
ermittel ich dann c so?

ln(c)-0,081*1=831

ln(c) = 8,391

c= e^8,391


oder eine c = 831 ?

 

und der Bestand im nächsten Jahr wäre dann:

 

f(9) = 831 * e-0.081 * 9 oder? 

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Der Beginn deines Kommentars lautet :

ln(c)-0,081*1=831

Wie kommst du hierauf ?

mfg Georg

Answer 2

Zunächst einmal würde ich in diesem Fall (Zählen von Großtieren) nicht unbedingt einer statistisch genauen Aussage den Vorzug geben; denn das bedeutete ja, dass die Einflüsse stets die gleichen sind, ohne Berücksichtigung etwaiger Gegenmaßnahmen zum Beispiel - bei einer Zählung während 8 Jahren vielleicht nicht unbedingt anzunehmen. Das heißt nicht, dass in vielen Fällen - wohl unbestritten in den meisten Fällen - eine z.B. kubische Regression am sinnvollsten ist. Ebenso wird es fast immer sinnvoll sein, den zeitlichen Verlauf grafisch darzustellen.

Man könnte also in diesem Fall für eine grobe SCHÄTZUNG z.B. versuchen, die letzten 3 Zählungen zu nehmen, und hierfür eine exponentielle Schätzung vorzunehmen, die immer nur IN EINEM BESTIMMTEN BEREICH, eben moeglichst INNERHALB der gewählten Schätzungspunkte, anwendbar ist, für eine EXTRAPOLATION ist dieser Ansatz meistens nicht gedacht. Der Ansatz koennte z.B. lauten y =  a * b^x * c^{x^2} Das ergäbe nach Logarithmieren ein quadratisches Gleichungssystem, deren Koeffizienten a, b, c leicht ermittelt werden könnten.

Trotz der Einschränkungen scheint der Ansatz für eine exponentielle Schätzung von y in diesem Fall zu einem sinnvollen Ergebnis zu führen: y ≈ 477 * (451/477*451/(477*432)^0.5)^{n -5} * ((477*432)^0.5/451)^{(n-5)^2}

y  ≈ 477 * (0.939363414)^4 * (1.006524895)^16 = 412