Ich mach mal (1) für dich, (2) solltest du dann selber hinkriegen und zu (3) kriegst du am Ende einen Tipp.
Das Wurzelkriterium benutzt eine geometrische Reihe als Majorante. Dementsprechend wird beim Beweis die geometrische Reihe genutzt.
Zunächst musst du den Limes Superior interpretieren können. Wenn für eine Folge \((b_n)\) der Limes Superior \(b\in\mathbb{R}\) ist, d.h. \(\limsup_{n\rightarrow \infty} b_n = b\), so bedeutet dies, dass für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n>n_0\) gilt: \(b_n < b+\varepsilon\). Diese Interpretation nutzen wir gleich aus.
Nun zum Beweis von (1). Es sei \(\limsup_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = c < 1\).
Definiere nun \(\tilde{c}:=\frac{c+1}{2}\). Es gilt \(\tilde{c}\in(c,1)\) (wichtig!).
Dann gilt nach obiger Interpretation des Limes Superior: Es existiert ein \(n_0\in\mathbb{N}\), sodass \(\sqrt[n]{|a_n|} \leq \tilde{c}\) für alle \(n>n_0\). Daraus folgt \(|a_n|\leq \tilde{c}^n\) für alle \(n>n_0\) und damit
$$ \sum_{n=0}^\infty |a_n| \leq \sum_{n=0}^{n_0} |a_n| + \sum_{n=n_0 +1}^\infty |a_n| \leq \underset{<\infty}{\underbrace{\sum_{n=0}^{n_0} |a_n|}} + \underset{<\infty \text{, geometrische Reihe (beachte }\tilde{c}<1)}{\underbrace{\sum_{n=n_0 +1}^\infty \tilde{c}^n}} < \infty.$$
Also liegt absolute Konvergenz vor.
Tipp zu (2). Zeige, dass unter dieser Voraussetzung \((a_n)\) keine Nullfolge ist und somit keine Konvergenz vorliegen kann.
Tipp zu (3). Betrachte die Reihe
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}, $$
wobei \(\alpha\geq 1\). Wähle zwei geeignete \(\alpha\), ein mal so, dass Divergenz vorliegt und ein mal so, dass Konvergenz vorliegt und zeige, dass in beiden Fällen der Limes Superior von \(\sqrt[n]{1/n^\alpha}\) gerade \(1\) ist.
