Was ist der Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt

Question

Mit dem Integral berechnet man ja die Fläche. Wo ist da der Unterschied?

Comments

Und mit dem Hammer haut man Naegel in die Wand. Was ist der Unterschied zwischen Hammer und Nagel?

Mit einem Inegral kann man auch Kurvenlaengen, Oberflaeche und Volumen von Rotationskoerpern, Arbeit bei veraenderlicher Kraft, etc. ausrechnen.

Answer 1

Der Flächeninhalt ist die Geometrische Bedeutung eines Integrals. Berechnen kann man aber auch mit Integral einer Geschwindigkeitsfunktion den zurückgelegten Weg. Man benutzt Integrale auch um z.B. mittlere Funktionswerte zu bestimmen. Das hat dann eigentlich nichts mehr direkt mit einer Fläche zu tun, obwohl man das immer noch als Fläche deuten kann.

Answer 2

ein wesentlicher Unterschied ist - was Flächeninhalte betrifft - dass das Integral und 

die Maßzahl des Fächeninhalts, den ein Funktionsgraph und die x-Achse

über einem Intervall einschließen, nur dann übereinstimmen, wenn der Graph 

oberhalb der x-Achse liegt.

Liegt das Graph unterhalb, gibt das Integral die negative Maßzahl an.

Liegt der Graph zum Teil ober- und zum Teil unterhalb, gibt der Wert des Integrals die Differenz beider Flächenanteile an.

Das Integral kann dann sogar 0 werden, wenn beide Flächenanteile übereinstimmen.

Gruß Wolfgang