Taylerreihenentwickung von e^x an der Stelle a=0. Wie viele Glieder sind nötig, wenn...

Question

Hallo ich bitte um HIlfe. Wie viele Glieder der Taylorreihenentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berücksichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen ?

Answer 1

mit der Restgledabschätzung für das n-te Taylorpolynom

kommt man ja bei x=2 auf einem Fehler kleiner als 2ⁿ⁺¹/(n+1)!

also muss ( 2ⁿ⁺¹/(n+1)!)  / e^2 < 0,01   sein, d.h.

( 2ⁿ⁺¹/(n+1)!)   < 0,01 * e^2

und wegen e>2,7 genügt es für

( 2ⁿ⁺¹/(n+1)!)   < 0,01 * 2,7^2  = 0,0729

mit 2^6 / 6! > 0,08 reicht es nicht, aber

2^7 / 7! < 0,025  ist es erfüllt.

also muss n+1=7 und damit n=6 sein.