Real- und Imaginärteil von z^2

Question

Berechnen Sie z^2 sowie den Real-und Imaginärteil von z^2.

Es sei z=a+bi ∈ℂ mit a,b ∈ℝ

Desweitern zeigen Sie : |z^2|=|z|^2.

Warum gilt |z^2| ∈ℕ für a,b ∈ℤ ?

EDIT: Fragestellung im Bild:

Answer 1

z=a+bi

z^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - b^2 + 2abi

Re(z^2) = a^2 - b^2

Im(z^2) = 2ab

Soweit klar?

Bekommst du das mit dem Betrag nun selbst hin? 

Warum gilt |z²| ∈ℕ für a,b ∈ℤ?

Wer behauptet das? 

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort ! Ich werde mich damit auseinander setzten! Danke vielmals , wenn ich nochmal eine Frage habe melde ich mich ! Danke !

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Hier die ganze Aufgabe um Missverständnissen vorzubeugen . ✌️

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3.

|z^2|= |z|^2        wegen 2.

Da zudem |z| = √(a^2 + b^2)

==>

|z^2| = |z|^2 = a^2 + b^2 , weil nun a und b € Z, so ist a^2 + b^2 € N (inkl. 0, wenn a=b=0)

qed.

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Vielen  Dank deine schnellen Antworten bringen mich echt weiter und ersparen viel Frust ! Ich kämpfe gerade noch mit dem Punkt 2 . Mir ist klar das |z|= Wurzel (a^2+b^2) ist nur bekomme ich den Beweis nicht so schlüssig auf das Papier , leider bin ich da nicht   fit .

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Benutze:

Re(z²) = a² - b²

Im(z²) = 2ab

|z^2| = √( (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2)         |binomische Formel

= √(a^4 - 2a^2 b^2 + b^4 + 4a^2 b^2) 

= √(a^4 + 4a^2 b^2 + b^4)         |binomische Formel

= √ ((a^2 + b^2)^2 ) 

= a^2 + b^2

und das ist dasselbe wie |z|^2, das ich dir bei 3. schon vorgerechnet habe.  q.e.d. 

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Danke nochmals hast mir sehr geholfen ! ✌️