Berührpunkt Gerade an Kreis gesucht

Question

:)

Ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ich habe ein Kreis k: (x^2)+(y^2)=16 sowie eine Gerade g: y=x+9 und einen Punkt P (0/9) gegeben.

Dabei soll die Gerade so verändert/gedreht werden, dass sie einen Berührpunkt (Tangente) mit dem Kreis bildet.

Wie habe ich vorzugehen?

Meine Ideen:

Was ich weiss ist, dass der Kreis mit Mittelpunkt M im Ursprung liegt

Zuerst habe ich die Gerade in die Kreisgleichung eingesetzt und bekam eine quadratische Gleichung welche als Ergebnis keine Lösung hat, somit also am Kreis vorbeigeht ohne ihn zu schneiden oder zu berühren.

Ich habe aber irgendwie kein Ansatz wie wo anfangen...

Comments

Was genau ist denn erlaubt? Um welchen Punkt darf die Gerade gedreht werden? Muss P immer noch auf der Geraden liegen?

Dann wäre der Ansatz

y = ax + 9

und du müsstest dafür sorgen, dass die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

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Ja, P muss immer noch auf der Geraden liegen. Für den gemeinsamen Punkt muss ich die Gerade und Kreis gleichsetzten.
Ich glaube aber da ich den Radius gegebn habe kann ich eine Information zum Berührpunkt finden.
Genau; die Steigung suche ich für diese neue Gerade darum a vor dem x.

Für a bekomme ich:

$$a=-(\frac { x }{ y } )$$

sieht das dann so aus? $$y=(-\frac { x }{ y } )x+9$$

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Für das a solltest du schon 2 feste reelle Zahlen rausbekommen. Vgl. mein Rechenvorschlag in der "Antwort".

Answer 1

P muss  immer noch auf der Geraden liegen?

Dann wäre der Ansatz

y = ax + 9

und du müsstest dafür sorgen, dass die Gerade nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

x^2 + y^2 = 16
x^2 + (ax + 9)^2 = 16
x^2 + a^2 x^2 + 18ax + 81 = 16
(1+a^2) x^2 + 18ax + 65 = 0
Das soll genau eine Lösung haben.
D.h. Diskriminante D = B^2 - 4AC = 0.
Also 18^2 a^2 = 4* (1+a^2)* 65
Nun das noch nach a auflösen. Das wird 2 Ergebnisse gegen (+ und - dieselbe Zahl)
Unbedingt nochmals nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren!

Answer 2

Die Zeichnung gibt hier schon den Rechenweg vor. Vorbedingung ist sicherlich, dass die Konstruktion der Tangenten von einem Punkt an einen Kreis schon behandelt worden sind.