Überführung n verschachtelter Wurzeln in eine Funktion f(n,a)

Question

folgender Term:

$$ 2\sqrt {  ...\quad 2\sqrt { 2\sqrt { 2\sqrt { a } -1 } -1 } ... -1 }  $$ 

mit 0<a<1,

wobei mit n, m ∈ ℕ gilt:

n=1 für den innersten Wurzel-Term, also $$ 2\sqrt { a } $$

n=2 für den zweit-innersten Wurzel-Term, also $$ 2\sqrt { 2\sqrt { a } -1 } $$

n=m für den äußersten Wurzel-Term 

Ich benötige anstelle des Terms mit den verschachtelten Wurzeln eine Funktion ƒ(n,a), mit der sich dieser Term allgemein darstellen lässt. Es müssen sich somit in Abhängigkeit von n folgende Funktionswerte ergeben:

ƒ(1,a) = $$ 2\sqrt { a } $$

ƒ(2,a) =$$ 2\sqrt { 2\sqrt { a } -1 } $$

usw.

Hänge an diesem Problem schon ziemlich lange. Bisher hat mir leider noch keiner helfen können.

Vielleicht klappt es ja diesmal.

AK

Comments

Hi, für beispielsweise
$$0 < a=\frac19<1$$
ist der Term offenbar nicht definiert...

Worin besteht denn der Hintergrund der Frage?

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der Wert für a bewegt sich ziemlich Nahe an 1.

Es gibt einen Grenzwert für a, bei dem der Term komplex würde.

Das Ganze hat einen physikalisch-theoretischen Hintergund.

Hast du eine Lösungsidee?

AK

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Eventuell ein Ansatz

Rekursiv lässt es sich definieren als $$f(n,a)=\sqrt{f(n-1,a)-1}$$ mit f(0,a)=a+1

Wenn man das als Folge schreibt, ist das $$a_n=\sqrt{a_{n-1}-1}$$ Nun gilt es diese rekursive Definition in eine explizite Definition zu überführen. Ich kann das nicht, aber eine Google-Recherche hat ergeben, dass "generating functions" ein wichtiges Stichwort ist und so wie ich diesen Post http://math.stackexchange.com/questions/776007/is-there-a-generating-function-for-sqrtn verstehe, könnten insbesondere Dirichlet Series von Bedeutung sein. Das übersteigt jedoch meine Fähigkeiten, vielleicht bist du da schon weiter in der Ausbildung... (Was ich noch herausgefunden habe, ist, WolframAlpha kennt einen Befehl DirichletTransform, vgl. http://reference.wolfram.com/language/ref/DirichletTransform.html).

Besten Dank fürs Kopfzerbrechen bereiten, hat Spass gemacht! :-)

Gruss

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Hi,

danke für deine Ideen, sehr gute Überlegung (Faktor 2 fehlt noch vor der Wurzel, sollte aber für das Lösungs-Prinzip mit Rekursivität nicht entscheidend sein).

Meine Überlegungen bis dato gingen u.a. auch auf einen rekursiven Ansatz und zwar:

$$ { a }_{ n }\quad =\quad 2\sqrt { { a }_{ n-1 } } -1 $$

mit dem trivialen Startwert

$$ { a }_{ 1 }\quad =\quad { a }_{ 1 } $$

Wenn man die Differenz der rekursiven Funktionen betrachtet, also $$ { a }_{ n }-{ a }_{ n-1 } $$kommt man auf folgendes Ergebnis:

$$ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }-\sum _{ \nu =1 }^{ n-1 }{ \left( \sqrt { { a }_{ \nu  } } -1 \right) ^{ 2 } } $$

Vielleicht hast du dazu auch noch einen Ansatz ...

Hab mich mit den Dirichlet-Reihen (und was es da sonst noch im Kontext mit Hr. Dirichlet gibt) noch nicht befasst.

Wird spannend.

Nochmals Danke für deine Gedanken.

vG

AK

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Faktor 2 fehlt, klar. Ich hab's in der Frage lange angestarrt und mich dann entschieden, dass es für 2-te Wurzel steht. :-)

Zu deinem rekursiven Ansatz, mich hat überrascht, dass das -1 nicht auch unter der Wurzel ist. Deshalb hab ich's ausgeschrieben:  

$$ a_n=2\sqrt{a_{n-1}}-1\\a_1 = a$$

da in der Frage auch ein a steht, und dann kann man die finale Version besser von den anderen unterscheiden

$$a_2=2\sqrt{a_1}-1=2\sqrt{a}-1\\a_3=2\sqrt{a_2}-1=2\sqrt{2\sqrt{a_1}-1}-1=2\sqrt{2\sqrt{a}-1}-1  $$

da hast du nun am Ende ein -1 zu viel

Und mit -1 unter der Wurzel, aber Achtung auch a_1 ändert sich.

$$ a_n=2\sqrt{a_{n-1}-1}\\ a_1=a+1\\a_2=2\sqrt{a_1-1}=2\sqrt{a+1-1}=2\sqrt{a}\\a_3=2\sqrt{a_2-1}=2\sqrt{2\sqrt{a_1-1}-1}=2\sqrt{2\sqrt{a+1-1}-1}=2\sqrt{2\sqrt{a}-1}$$ und das stimmt nun mit dem f(2,a) aus der Frage überein.

Den Ansatz mit der Differenz a_n-a_n-1 habe ich nicht ganz verstanden, respektive habe ich es nicht geschafft, das Ergebnis mit der Summe zu reproduzieren. Wenn du dazu deinen Weg noch etwas ausführen könnten, wäre das hilfreich... 

Mit besten Grüssen

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Wenn man anstatt a₁ a₀ als a+1 definiert und die Berechnung der Folge dann bei a₁ beginnt, dann würden die n's mit jeden von f(n,a) in der Frage übereinstimmen.

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$$a_{n+1}=2\sqrt{a_n-1}$$ ist einfach eine Fixpunktiteration zur Fixpunktgleichung $$\alpha=2\sqrt{\alpha-1}.$$ Die einzige Lösung ist \(\overline{\alpha}=2\). Mit einer Zeichnung sieht man sofort, dass für \(a_0\ge2\) Konvergenz gegen \(\overline\alpha\) vorliegt, waehrend man für \(0\le a_0<2\) bald Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen muss. Das kann gegen nichts mehr konvergieren, da ueberhaupt nur \(\overline{\alpha}=2\) als Grenzwert infrage kommt.

~plot~2*sqrt(x-1); x; [[-0,01|8|-0,01|6]]~plot~

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richtig, die -1 gehört unter die Wurzel.

Da hatte ich einen Fehler drin. Vielen Dank für den Hinweis.

Zu dem Ansatz mit der Differenz $$ { a }_{ n }-{ a }_{ n-1 } $$

Mit dem korrekten Ansatz, also die -1 unter die Wurzel,  ändert sich die Funktion folgendermaßen:

$$ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }-\sum _{ \nu =1 }^{ n-1 }{ \left( \sqrt { { a }_{ \nu  }-1 } -1 \right) ^{ 2 } }  $$

Warum ist das so, kann man einfach an einem Beispiel mit anschließendem Analogieschluss zeigen:

$$ { a }_{ 1 }=a+1 $$

$$ { a }_{ 2 }=2\sqrt { { a }_{ 1 }-1 } $$

$$ { a }_{ 3 }=2\sqrt { { a }_{ 2 }-1 } $$

usw.

$$ { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 }=2\sqrt { { a }_{ 1 }-1 } -{ a }_{ 1 }=-\left( \sqrt { { a }_{ 1 }-1 } -1 \right) ^{ 2 } $$

$$ { a }_{ 3 }-{ a }_{ 2 }=2\sqrt { { a }_{ 2 }-1 } -{ a }_{ 2 }=-\left( \sqrt { { a }_{ 2 }-1 } -1 \right) ^{ 2 } $$

usw.

Der Funktionswert a_n ergibt sich als Summe aus dem Startwert, also a_1, mit den dazwischenliegenden Differenzwerten, also (a_2 - a_1)  + (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) + ...  wie man erkennt.

Nur seh ich bis jetzt keinen Nutzen darin.

Aber vielleicht überseh ich da was ...

Bis demnächst mit vielleicht neuen Gedanken

AK 

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Ich glaube ihr hattet das schon erledigt.

Nochmals eine Berechnung eines allfälligen Grenzwertes:

a = 2√(a-1)       , setzt ja voraus, dass a≥1 ist, da Wurzeln nicht neg. sind auch a≥0.

Falls a≥1

a^2 = 4(a-1)     

a^2 - 4a + 4 = 0 ==> Lösung a = 2.

Kann es sein, dass du eigentlich 

a^2 = 4|a-1|   lösen möchtest ? 

Falls a<1

a^2 = 4(1-a)

a^2 + 4a - 4 = 0

a_(2,3) = 1/2 ( -4 ± √(16 + 16)) = 1/2 ( -4 ± 4√(2)) = -2 ± 2 √2 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+%3D+4%7Ca-1%7C+

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Bei deinem neuen Ansatz sehe ich auch noch keinen Nutzen.

Die Differenzen müssten ja im Konvergenzfall gegen 0 gehen.

D.h. a müsste gegen 1 gehen, was aber den möglichen Resultaten für Grenzwerte widerspricht. 

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Hallo Lu,

wie zu Beginn beschrieben folgendes Problem:

Ich benötige anstelle des Terms mit den verschachtelten Wurzeln (siehe Ausgangsproblem ganz oben) eine Funktion ƒ(n,a), mit der sich dieser Term allgemein darstellen lässt, also:

$$ { f }_{ (1,a) }=2\sqrt { a } $$

$$ { f }_{ (2,a) }=2\sqrt { 2\sqrt { a } -1   }  $$

usw.

Diesen Wurzel-Term kann man iterativ darstellen wie oben bereits beschrieben, also:

$$  { { a }_{ n }=2\sqrt { { a }_{ n-1 }-1 }  } $$

mit der Anfangsbedingung:

$$ { { a }_{ 1 } }=a+1 $$

Wie von "Neuling_von_hier" oben erwähnt sind möglicherweise die Dirichlet-Reihen ein Lösungsansatz, hab mich damit aber noch nicht befasst.

Vielleicht gibt es noch einen weiteren Lösungsansatz ...

Danke fürs Nachdenken & beste Grüße