Gegeben sei eine Matrix \( A \).
Die Matrix \( A' = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot A \) kann man aus \( A \) erzeugen indem man die zweite Zeile von \( A \) zur dritten addiert.
Die Matrix \( A'' = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot A \) kann man aus \( A \) erzeugen indem man die erste Zeile von \( A \) mit drei multipliziert.
So lassen sich alle elementaren Zeilenumformungen, die man während des Gauß-Jordan-Algorithmus auf der Matrix \( A \) durchführt, durch Multiplikation mit geeigneten Matrizen (sogenannten Frobeniusmatrizen) beschreiben.
Wird die Matrix \( A \) also zum Beispiel durch 3 Zeilenumformungen in die Matrix \( B \) überführt, dann gibt es Frobeniusmatrizen \( F_1, F_2, F_3 \), so dass \( F_3 \cdot(F_2 \cdot(F_1\cdot A)) = B \) ist. Wegen des Assoziativgesetzes der Matrixmultiplikation ist dann auch \( (F_3 \cdot F_2 \cdot F_1) \cdot A = B \). Die Matrix \( F = (F_3 \cdot F_2 \cdot F_1)\) führt sozusagen alle 3 Zeilenumformungen in einem Rutsch aus.
Bei dem von dir beschriebenen Verfahren wird die Matrix \( A \) durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix überführt. Wie gerade erläutert, kann das durch eine Matrixmultiplikation \( F\cdot A \) ausgedrückt werden. Führt man die gleichen Zeilenumformungen auf der Einheitsmatrix \( E \) aus, so bekommt man \( F\cdot E \).
Nun gilt:
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\( F\cdot A = E\), weil \( A \) durch \( F \) in die Einheitsmatrix überführt wurde. Also ist \( F = A^{-1} \).
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Das Ergebnis der Anwendung von \( F \) auf die Einheitsmatrix \( E \) ist \( F\cdot E = F \), weil die Einheitsmatrix bei Multplikation neutral ist.
Zusammengefasst: \( A \) wird durch \( F \) in die Einheitsmatrix überführt, \( E \) wird durch \( F \) nach \( F \) überführt und \( F = A^{-1} \).
