Stetig außer in Nullpunkt

Question

Ich hab eine zusammengesetzte Funktion die ist aber nur im Nullpunkt nicht stetig

Wie kann ich das am besten beweisen?

Indem ich die den Links-und rechtsseitigen Grenzwert berechne

Oder mit einem gegen Beispiel

Answer 1

Man beweist fehlende Stetigkeit indem man die Definition von Stetigkeit heranzieht: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈(x₀-δ, x₀+δ) |f(x₀)-f(x)| ≤ ε

Negation davon ist ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x∈(x₀-δ, x₀+δ) |f(x₀)-f(x)| > ε. Man gibt also ein ein ε>0 an, so dass für alle δ>0 ein x existiert und so weiter.

Das kann man sich sparen, wenn man etwas genaueres über die Funktion weiß. Zum Beispiel kann eine Funktion an Definitionslücken nicht stetig sein. In so einem Fall reicht es, zu sagen das die Funktion nicht stetig ist. weil sie dort nicht definiert ist.