Zeigen Sie, dass die Einschränkung von f auf eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt stetig ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3: Wir definieren \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
a) Zeigen Sie, dass die Einschränkung von \( f \) auf eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt stetig ist.
b) Untersuchen Sie, ob \( f \) stetig ist.

Problem/Ansatz
Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil b). Nach meinem bisherigen Verständnis konnte man mit Polarkoordinaten alle Funktionen dieser Art relativ einfach auf Stetigkeit prüfen. Allerdings komme ich in meiner Anwendung der Polarkoordinaten (und die AI auch), zum dem Schluss, dass der Ausdruck sich zu :

r^3 * sin^2*cos / r^2 * (r^2 sin^4 +cos^2) vereinfacht. Für r gegen 0 folgt => 0/cos^2 . Hinter cos/sin, soll natürlich jeweils ein theta stehen.. Dieser Ausdruck ist wohldefiniert gleich 0 außer für cos = 0 . Wenn ich diesen Fall jedoch von anfang an annehme erhalte ich auch 0 als Ergebnis. Nun haben wir in der Musterlösung dieses Gegenbeispiel :

Text erkannt:

b) Wir wählen \( x_{n}:=\frac{1}{n}, y_{n}:=\frac{1}{n^{2}} \). Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \) ist und weiterhin
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}, y_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0) \)
gilt, ist f im Nullpunkt nicht stetig.

Welches zeigt dass meine Schlussfolgerung falsch ist. Meine Frage ist, liegt der Fehler in meiner Interpretation des Ausdrucks den ich mit Polarkoordinaten erstellt habe (da der Ausdruck für cos=0 nicht definiert ist?), ODER ist mein Verständnis dass man mit Polarkoordinaten alle Richtungen von denen man sich 0 nähern kann abdeckt, und diese somit immer zum Ergebnis führen, wenn man den Ausdruck am Ende richtig interpretiert, falsch?
Ich bin bis vor kurzem davon ausgegangen, dass wenn der Ausdruck am ende 0/sin^c+cos^p mit c und p beliebig ist, dass der Grenzwert in alle Richtungen 0 ist. Wenn man Zähler und Nenner tauscht, also ... / 0 existiert der Grenzwert nicht, und Falls am Ende ein Ausdruck , wie der denn ich in der Aufgabe erreicht habe herauskommt, also 0/cos , der möglicherweise nicht wohldefiniert ist, dann existiert der Grenzwert auch nicht... Das würde in diesem Fall zumindest zum richtigen Ergebnis führen.
Vielen Dank im Voraus.

Comments

Gelöschter Kommentar.

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Kannst Du diese Abschätzung bitte erläutern.

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a) war nicht gefragt und die Abschätzung in b) ist falsch.

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Stimmt sehr wichtig, habe den Betrag vergessen. Jetzt müsste es passen. Danke für die Korrektur.

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Nein, ändert nichts.

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Doch die Abschätzung ist jetzt richtig. Ich habe unten beim Nenner nur den Betrag weggelassen, da der Term x^4 + y^2 bereits positiv ist.

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Danke für die Antwort, genau bei der a) habe ich auch so gearbeitet, wie schon gesagt liegt mein Problem bei der b).
Du hast gesagt das Polarkoordinaten nur bei stetigen Funktionen funktionieren.. Mir war das so nicht bewusst, nach meinem Wissen kann man immer auf Polarkoordinaten wechseln und den Grenzwert r gegen 0 betrachten, ist das wirklich nicht immer möglich ? Ich meine ich hatte das den Übungsmensch gefragt und er hat gesagt es geht, man muss nur aufpassen, wenn der Ausdruck am Ende von Theta abhängt, was hier ja der Fall war...

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Gerne.

Es wäre bestimmt möglich hier auch mit den Polarkoordinaten das zu zeigen, jedoch ist es eben mühsamer. Ich meinte, das man es halt üblich in solchen Situationen nicht damit macht und das es eben einfacher geht. Um Unstetigkeiten zu zeigen machst du das typisch mit Folgen oder eben so wie ich.

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Ich verstehe. Leider habe ich am Anfang keine Ahnung ob die Funktion jetzt stetig ist oder nicht.. Daher brauche ich ja erst einmal eine Möglichkeit um zu verstehen ob die Funktion stetig ist oder nicht, und die Polarkoordinaten schienen das zu tun... Hast du da eine Alternative ?

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1. Es ist x = r*cos θ , y = r*sin θ  und nicht umgekehrt.

2. Die von dir angesprochenen Fällen behandelten wohl stetige Funktionen, so dass mit Polarkoordinaten die Stetigkeit nicht nur überprüft, sondern nachgewiesen wurde, da sich die Funktion letztlich als f(r,θ) = r^α*g(θ) mit einer positiven Konstanten α und einer beschränkten Funktion g schreiben ließ.
Das ist hier nicht der Fall.
Für r≠0 ist f(r,θ) = r*sin^2(θ)*cos(θ) / (r^2*sin^4(θ)+sin^2(θ)) und die oben erwähne beschränkte Funktion g existiert nicht. Auf der in der Musterlösung erwähnten Parabel ist sin(θ) = r*cos^2(θ) und dort daher
f(r,θ) = r^2*cos^4(θ) / (r^2*cos^4(θ)+r^2*cos^4(θ)) = 1/2.

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Kurz vorab: Habe jetzt eine bessere Anschätzung oben, die intuitiver ist.

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oder eben so wie ich

nein, da falsch.

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@nudger Meine Abschätzung war nicht falsch, aber lückenhaft. Deshalb habe ich jetzt eine effektivere.

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Das ist falsch. Jedenfalls die Version, die ich um 13.31 Uhr sehe.

Wenn Du Dir ein wenig Mühe mit dem Lesen der Aufgabenstellung - oder Deiner eigenen Ausführungen - machen würdest, dann wüsstest Du, dass Dein Fall schon in a) abgehandelt ist - mit anderem Ergebnis.

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@Johny0001

Betrachte einen Punkt (x,y) ∈ |R^2 mit (x,y) ≠ (0,0) und schreibe diesen in die polaren Form, also (x,y) = (r cos(θ), r sin(θ)), wobei hier θ ∈ (0,2π) der Winkel ist.

Dann berechne mal f(r cos(a), r sin(a)) und betrachte den Term für r —> 0. Kannst ja mal versuchen, doch musst du aber im Endeffekt nach unten abschätzen, was es nicht unbedingt leichter macht. Schaue dir am besten mal jetzt meinen überarbeiteten Teil an, da der echt sehr intuitiv ist.

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@Mathhilf

Was ist denn jetzt das Problem?

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Du hast eine Ungleichung notiert und die ist falsch. Es ist nicht
$$\frac{1}{y^2+1} > \frac{1}{2y^2}$$

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Gelöschter Kommentar.

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|f(y,y)| = |y| y^2 / (y^4 + y^2) > |y| y^2 / y^4

= |y| / y^2 = 1/|y|.

Lass es doch einfach sein.

\(|f(1,1)|=\frac{1}{2}>\frac{1}{1}\). Aha.

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Deine Beiträge vermitteln den Eindruck, dass du Unstetigkeitsstellen mit Polstellen gleichsetzt und daher verzweifelt solche herbeizurechnen versuchst, obwohl f beschränkt ist.

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Ich entschuldige mich für das Chaos hier. Ich habe hier zu schnell ohne ausführlich nachzudenken gehandelt, was man bei Mathematik natürlich strengstens unterlassen sollte. Demnach sind mir natürlich Flüchtigkeitsfehler unterlaufen…

Answer 1

Der Fall cos=0 liefert nur 0 als Grenzwert, wenn r>0 ist (was hier ja gerade nicht gegeben ist).

Du kannst Dich nicht mit Einzelfällen durcharbeiten. Es muss für alle(!) Folgen konvergieren und dann auch den gleichen Grenzwert liefern (falls es stetig sein soll).

Warum man mit PKen arbeiten will, wenn bei der Aufgabe nichts darauf hindeutet, erschließt sich mir nicht. Es geht hier (und bei ähnlichen Aufgaben, die hier im Forum auch vorliegen) relativ einfach mit speziellen Folgen (x_n,y_n).

Comments

Danke für die Antwort. Ich glaube ich habe es verstanden. Also da ich für cos = 0 bei dem Ausdruck 0/r^2 *sin^4
lande, aber der limes davon 0/0 ist, sprich nicht definiert ist, also nicht existiert, Folgt zwingend dass der Grenzwert für dieses Theta nicht existiert. Ist das so korrekt ?
Und zu meine Wahl der Polarkoordinaten, ich finde es leichter wenn ich nur ein r gegen 0 laufen lassen muss, als x und y gleichzeitig. Aber dieses Vorgehen ist doch allgemein legitim (Wechsel auf Polarkoordinaten) ? Jedenfalls wenn man den Ausdruck am Ende richtig interpretiert, was ich hier nicht getan habe!

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Es gibt keinen lim 0/0. Es gibt Ausdrücke, die so aussehen, aber ob da ein existierender Grenzwert hintersteckt oder nicht hängt von der Situation ab (l'Hospital).

Ich verstehe nach wie vor nicht, warum Du den komplizierten Weg mit PK suchst. In manchen Situationen ist das für Gegenbeispiele nützlich, in der Mathematik geht es aber meist darum, den einfachsten, klarsten Weg zu finden. Dazu versucht man es zuerst mit kart. K.

Und PK ist sowieso mit Vorsicht zu handhaben, da die Umrechnung nicht eindeutig ist (bei r=0).

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Alles klar. Ich bin etwas verunsichert da ich so falsch lag mit meiner Interpretation. Daher hätte ich noch eine Frage falls es in Ordnung ist. Grundsätzlich ist es sinnvoll bei solchen Aufgaben zuerst eine Abschätzung im Betrag zu suchen, um einen Ausdruck zu erhalten der nur von x oder y abhängt. Falls wie hier ersichtlich ist dass der Ausdruck immer von x und y abhängen wird, ist es wahrscheinlich dass die Funktion unstetig ist, und man sollte verschiedene Nullfolgen oder Geraden auf unterschiedliche oder divergente Grenzwerte untersuchen. Würdest du das so unterschreiben oder würdest du noch einen Fall/Weg hinzufügen?

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Der erste Weg sollte stets sein, einfache Folgen auszuprobieren ( generell bei Mathe-Aufgaben erstmal mit einfachen Beispielen anfangen). Das liefert Anhaltspunkte, ob f stetig ist oder nicht. Abschätzungen und PK nur, wenn das nicht zum Ziel führt.