Aufgabe:
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Aufgabe 3: Wir definieren \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
a) Zeigen Sie, dass die Einschränkung von \( f \) auf eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt stetig ist.
b) Untersuchen Sie, ob \( f \) stetig ist.
Problem/Ansatz
Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil b). Nach meinem bisherigen Verständnis konnte man mit Polarkoordinaten alle Funktionen dieser Art relativ einfach auf Stetigkeit prüfen. Allerdings komme ich in meiner Anwendung der Polarkoordinaten (und die AI auch), zum dem Schluss, dass der Ausdruck sich zu :
r^3 * sin^2*cos / r^2 * (r^2 sin^4 +cos^2) vereinfacht. Für r gegen 0 folgt => 0/cos^2 . Hinter cos/sin, soll natürlich jeweils ein theta stehen.. Dieser Ausdruck ist wohldefiniert gleich 0 außer für cos = 0 . Wenn ich diesen Fall jedoch von anfang an annehme erhalte ich auch 0 als Ergebnis. Nun haben wir in der Musterlösung dieses Gegenbeispiel :
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b) Wir wählen \( x_{n}:=\frac{1}{n}, y_{n}:=\frac{1}{n^{2}} \). Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \) ist und weiterhin
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}, y_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0) \)
gilt, ist f im Nullpunkt nicht stetig.
Welches zeigt dass meine Schlussfolgerung falsch ist. Meine Frage ist, liegt der Fehler in meiner Interpretation des Ausdrucks den ich mit Polarkoordinaten erstellt habe (da der Ausdruck für cos=0 nicht definiert ist?), ODER ist mein Verständnis dass man mit Polarkoordinaten alle Richtungen von denen man sich 0 nähern kann abdeckt, und diese somit immer zum Ergebnis führen, wenn man den Ausdruck am Ende richtig interpretiert, falsch?
Ich bin bis vor kurzem davon ausgegangen, dass wenn der Ausdruck am ende 0/sin^c+cos^p mit c und p beliebig ist, dass der Grenzwert in alle Richtungen 0 ist. Wenn man Zähler und Nenner tauscht, also ... / 0 existiert der Grenzwert nicht, und Falls am Ende ein Ausdruck , wie der denn ich in der Aufgabe erreicht habe herauskommt, also 0/cos , der möglicherweise nicht wohldefiniert ist, dann existiert der Grenzwert auch nicht... Das würde in diesem Fall zumindest zum richtigen Ergebnis führen.
Vielen Dank im Voraus.
