absolutbetrag Vektorraum norm

Question

Leider weiß ich nicht wie das geht.

Answer 1

a)  sei lim ( n gegen ∞ )  von ( u_n,v_n,w_n) = (u,v,w).

Dann gilt nach Def. des Grenzwertes:

Sei eps>0. Es gibt ein no mit:

Für alle n > no gilt  || ( u_n,v_n,w_n) - (u,v,w) || < eps

also       || ( ( u_n-u ,v_n-v , w_n - w )||  <  eps

nach Def. der Norm    |u_n-u| +|v_n-v| +| w_n - w |   < eps

Da die drei Summanden nicht negativ sind, gilt also

für jeden einzelnen :  Betrag < eps.

und damit sind die drei Grenzwertaussagen gezeigt.

Umgekehrt:  Sei eps > 0

Sind umgekehrt dien drei Grenzwerte bekannt, dann gibt es für

jede einzelne Folge ein no mit .....  ..   < eps/3

Wenn also No das Maximum dieser 3 ist   dann gilt

   |u_n-u| +|v_n-v| +| w_n - w |   <  eps/3   + eps/3   + eps /3   =  eps

und damit ( wie oben rückwärts)   || ( u_n,v_n,w_n) - (u,v,w) || < eps