Aufgabe:
Aufgabe
1 (5 Punkte) Sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter \( K \) -Vektorraum \( (K=\mathbb{R} \text { oder } K=\mathbb{C}) \)
a) Zeigen Sie: Ist \( V \) vollständig, so impliziert die absolute Konvergenz einer Reihe in \( (V,\|\cdot\|) \) ihre Konvergenz.
b) \( \operatorname{Sei} V=M(n \times n, K) \) versehen mit der Norm \( \|A\|=\sup \left\{\|A x\| ; x \in K^{n},\|x\| \leq 1\right\} \)
Zeigen Sie, dass für alle \( A, B \in M(n \times n, K) \) die Abschätzung \( \|A B\| \leq\|A\|\|B\| \) gilt und dass die Reihe
$$ \sum \limits_{v=1}^{\infty} \frac{A^{v}}{v !} $$
konvergiert.
Hinweis: Verwenden Sie Bemerkung 2.22 des Skriptes, um zu zeigen, dass \( (V,\|\cdot\|) \) vollständig ist.
Bemerkung 2.22. Fur \( A=\left(a_{i j}\right) \in M(m \times n, K) \) gilt
$$ \max \left\{\left|a_{i j}\right| ; 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\right\} \leq\|A\| \leq \sqrt{m n} \max \left\{\left|a_{i j}\right| ; 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\right\} $$
Problem/Ansatz:
Ich benötige Hilfe, ich versuche es schon seit ner woche zu verstehen, wie ich hier diese zwei Aufgaben beweisen sollten.
Ich weiß, dass im normalen R bereich, die absolute Konvergenz die normale Konvergenz impliziert, und bei der b hab ich völlig keine Ahnung.
Danke nochmals für die Hilfe.
