Wie zeige ich das die Abbildungen von R2 auf R linear sind?

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

Welche der folgenden Abbildungen f: ℝ² --> ℝ sind linear:

1) f(x,y) = |x| - |y|

2) f(x,y) = x*y

3) f(x,y) = x

4) f(x,y) = 2x+3y

 

Wie genau mache ich das? Kann man mir das ein oder 2 der Aufgaben erklären? Ich weiß nämlich nicht wie ich das ganze angehen soll :-(

Answer 1

Du musst nachrechnen, ob folgendes gilt

(1)  f(x + u,y + v)) = f(x,y) + f(u,v)  für alle  (x,y),(u,v) ∈ ℝ²
(2)  f(a·x,a·y) = a·f(x,y)  für alle  (x,y) ∈ℝ²  und alle  a ∈ ℝ.

Wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist  f  linear.