Eine Abbildung f: U→W heißt linear, wenn für beliebige u, v ∈ U gilt:
f(u+v) = f(u)+f(v)
und für u∈U, k∈K (dem Grundkörper)
f(ku) = kf(u)
Für Aufgabe 1 rechnet man also f((x,y)+(v,w)) aus:
f((x,y)+(v,w)) = f((x+v, y+w))
= ((x+v)+2*(y+w), 2*(x+v)*(1-(y+w)), 3(x+v)²)
= ((x+v)+2*(y+w), 2*x*(1-y) + 2*v*(1-w) - 2*(xw+vy), 3x²+3v²+6xv)
Bilde jetzt die Differenz zu f(x,y)+f(v,w). Wenn die Abbildung linear ist, dann gilt
f(x+v, y+w) - (f(x,y)+f(v,w)) = 0
f(x,y) + f(v,w) = (x+2y, 2x(1-y), 3x²) + (v+2w, 2v(1-w), 3v²) =
Also gilt
f(x+v, y+w) - (f(x,y)+f(v,w)) = (0, -2(xw+yv), 6xv) ≠ 0
Die Abbildung ist nicht linear.
Aufgabe 2:
Zu zeigen: g(x+u, y+v, z+w) = g(x,y,z) + g(u,v,w)
g(x+u, y+v, z+w) = (((x+u)+3(z+w))/2, (x+u)-(y+v))
= ((x+3z)/2 + (u+3w)/2, (x-y)+(u-v))
= ((x+3z)/2, x-y) + ((u+3w)/2, u-v)
= f(x,y,z) + f(u,v,w)
also ist die Abbildung linear.
