welche der folgenden Abbildungen sind Homomorphismen?

Question

f1:(Q,+)^3 --> (Q,+)^2 , (x,y,z) --> (x+2z, 3x - y )

f2:  (R\(0), * )-->  (R\(0) ,*) , z--> |z|

Answer 1

Eine Abbildung φ ist ein Homomorphismus auf zwei Mengen (A, +) und (B, *) wenn gilt:

Für x, y ∈ A gilt: φ(a+b) = φ(a)*φ(b)

(+ und * müssen nicht zwingend Addition und Multiplikation sein, sie vertreten einfach beliebige Operatoren.)

1.) Seien (x, y, z), (u, v, w) ∈ℚ³:
f₁((x,y,z)+(u,v,w)) = f₁((x+u, y+v, z+w)) = ((x+u)+2*(z+w), 3*(x+u)-(y+v)) = (x+2z, 3x-y) + (u+2w, 3u-v) = f₁(x,y,z) + f₂(u,v,w)

Es handelt sich also um einen Homomorphismus.

2.) Seien a, b ∈ ℝ \{0}:

f₂(a*b) = |a*b| = |a|*|b| = f₂(a)*f₂(b)

Es handelt sich also um einen Homomorphismus.