Homomorphismen von Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Seien U eine Menge, V undK W K-Vektorräume und h∈W^V

^a)Betrachte die Abbildung

Φ: V^U→W^U,

f↦h◦f.

Zeige Φ∈Hom(V^U,W^U)⇔(U=∅ oder h∈Hom(V,W)).

b) Sei U und V Mengen, W ein K-Vektorraum und f∈V^U.

Betrachte die Abbildung

Ψ: W^V→W^U,

g7→g◦f

Zeige Ψ∈Hom(W^V,W^U)

Problem/Ansatz:

Leider verstehen wir die zwei Aufgaben nicht und haben keinen Ansatz.

Kann sie uns jemand lösen? Oder hilfreiche Lösungen geben?

Vielen lieben Dank!

Answer 1

Hallo,

ich nehme mal grundsätzlich an, dass U nichtleer ist.

1. Behautpung: Wenn h Homomorphismus von V nach W ist, dann ist \(\Phi\) Homom. von \(V^U\) nach \(W^U\). Um die Behauptung zu beweisen, nehmen wir 2 Funktionen \(f,g \in V^U\) und eine Skalar s aus K und prüfen, ob

$$\Phi(sf+g)=s\Phi(f)+\Phi(g), \text{  also ob  }h \circ(sf+g)=sh\circ f + h \circ g$$

Die rechte Gleichung ist eine Gleichung zwischen Funktion aus \(W^U\), wir überprüfen diese, indem die Funktionswerte für beliebiges \(u \in U\) "bestimmen" und dabei brauchen wir jetzt, dass h ein Homom. ist , also linear - und zwar für das dritte Gleichheitszeichen:

$$[h \circ(sf+g)[(u)=h[(sf+g)(u)]=h[sf(u)+g(u)]=sh(f(u))+h(g(u))$$

$$=[sh\circ f + h \circ g](u)$$

2. Behauptung: Umkehrung. \(\Phi\) ist Homom. von \(V^U\) nach \(W^U\). Wir zeigen, dass h ein Homom. von V nach W ist. Dazu nehmen wir Skalar s aus K und 2 Vektoren \(x,y \in V\). Wir definieren jetzt 2 Funktionen

$$f,g \in V^U: \qquad \forall u \in U: f(u):=x, g(u):=y$$

(Hier ist der Punkt, wo ich verwende, dass U nichtleer ist, weil ich sonst f und g nicht definieren kann.) Damit gilt:

$$h(sx+y)=h \circ(sf(u)+g(u))=\Phi(sf+g)(u)=(s \Phi(f)+\Phi(g))(u)$$

$$=(sh\circ f +h \circ g)(u)=sh(x)+h(y)$$

Also ist h linear.

Gruß Mathhilf