Ist V = Abb(ℝ, ℝ), V' = ℝ2, F(f) = (f(0), 1 − f(1)). ein Homomorphismus zwischen den Vektorräumen V und V'?

Question

Ist folgende Abbildungen ein Homomorphismus zwischen den Vektorräumen V und V' ?

V = Abb(ℝ, ℝ), V' = ℝ², F(f) = (f(0), 1 − f(1)).

Answer 1

Nein, ist es nicht; denn wenn du es zu beweisen versuchst, müsstest

du ja z.B. zeigen, dass F(f+g) = F(f) + F(g) immer gilt.

Aber F(f+g) = (  (f+g)(0) , 1 - (f+g)(1) )

                  = ( f(0) + g(0) ,  1 - f(1) + g(1) )

Aber  F(f) + F(g)  =  = ( f(0) + g(0) ,  1 - f(1) + 1 -  g(1) )

Konkretes Gegenbeispiel wäre etwa:

f(x) = x  und  g(x) = x^2

Da ist F(f+g) = ( 0 ,  1 )

aber     F(f) + F(g) =  ( 0 , 1 ) + (0 , 1 )  =  ( 0, 2 )

Aber es ist  eben  ( 0,1) ≠ (0,2) .