Question

Ist folgende Abbildungen ein Homomorphismus zwischen den Vektorräumen V und V' ?

V = ℝ³, V' = ℝ, F(x₁, x₂, x₃) = x₁ + x₂ − 2x₃.

Answer 1

Aloha :)

Du musst prüfen, ob die Abbildung \(F\) homogen und additiv ist. Mit \(\alpha\in\mathbb{R}\) und \(\vec x,\vec y\in V\) gilt:

$$F(\alpha\cdot\vec x)=F(\alpha x_1,\alpha x_2,\alpha x_3)=\alpha x_1+\alpha x_2-2\alpha x_3=\alpha(x_1+x_2-2x_3)$$$$\phantom{F(\alpha\cdot\vec x)}=\alpha\cdot F(\vec x)$$$$\Rightarrow\quad F\text{ ist homogen.}$$$$F(\vec x+\vec y)=F(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(x_1+x_2)+(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)$$$$\phantom{F(\vec x+\vec y)}=(x_1+x_2-2x_3)+(y_1+y_2-2y_3)=F(\vec x)+F(\vec y)$$$$\Rightarrow\quad F\text{ ist additiv.}$$

\(F\) ist daher ein Homomorphismus.