0 Daumen
611 Aufrufe

Ist folgende Abbildungen ein Homomorphismus zwischen den Vektorräumen V und V' ?

V = ℝ3, V' = ℝ, F(x1, x2, x3) = x1 + x2 − 2x3.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Du musst prüfen, ob die Abbildung FF homogen und additiv ist. Mit αR\alpha\in\mathbb{R} und x,yV\vec x,\vec y\in V gilt:

F(αx)=F(αx1,αx2,αx3)=αx1+αx22αx3=α(x1+x22x3)F(\alpha\cdot\vec x)=F(\alpha x_1,\alpha x_2,\alpha x_3)=\alpha x_1+\alpha x_2-2\alpha x_3=\alpha(x_1+x_2-2x_3)F(αx)=αF(x)\phantom{F(\alpha\cdot\vec x)}=\alpha\cdot F(\vec x)F ist homogen.\Rightarrow\quad F\text{ ist homogen.}F(x+y)=F(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=(x1+x2)+(x2+y2)2(x3+y3)F(\vec x+\vec y)=F(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(x_1+x_2)+(x_2+y_2)-2(x_3+y_3)F(x+y)=(x1+x22x3)+(y1+y22y3)=F(x)+F(y)\phantom{F(\vec x+\vec y)}=(x_1+x_2-2x_3)+(y_1+y_2-2y_3)=F(\vec x)+F(\vec y)F ist additiv.\Rightarrow\quad F\text{ ist additiv.}

FF ist daher ein Homomorphismus.

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage