Gleichung der Funktion erstellen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Nullstellen x=2 und x=-2, der y-Achsenabschnitt f(0)=16 und das die Funktion jeweils aus dem unendlichen kommt und ins Unendliche verschwindet, sowie dass sie y-Achsensymmetrisch ist. Diese Funktion soll nun gezeichnet werden und die Gleichung erstellt werden.

Problem/Ansatz:

Nach dem Zeichnen erkenne ich, dass es eine Funktion 4. Grades ist. In meinen Lösungen wird dort dann sofort davon ausgegangen, dass die Form ax^4-bx²+16 ist. Ich verstehe den Schritt nur nicht so ganz. Warum wird ausgeschlossen, dass der Koeffizient von x³ und x^1 0 ist? Und woher weiß man, dass es -b ist?

Edit: Aufgabe aus Aufgabenblatt, einfacher so:

Skizzieren Sie eine Polynomfunktion f(x) mit folgenden Eigenschaften:
Achsensymmetrisch zur y-Achse
f(−2) = 0 und f(2) = 0
limx→∞ f(x) → ∞ und lim x→−∞ f(x) → ∞
f(0) = 16
Wie lautet die Gleichung dieser Funktion?

Answer 1

Hallo

 1. Achsensymmetrisch: es kommen nur gerade Potenzen von x vor (dazu zählt auch x=0

da f(0)=16 weiss man dass das absolute Glied 16 ist. eine quadratische Funktion kann es nicht sein, also nicht ax^2+16 denn mit positivem a hat sie keine Nullstellen mit negativem a geht sie nicht nach +oo

also ist das einfachste ax^4+bx^2+16

 kann aber auch ax^6+bx^4+cx^2+16 sein, nur ist das erste das einfachste.

ob a oder b negativ oder positiv sind kann man erst durch Einsetzen von f(2)=0 entscheiden, aber in deiner Gleichung sagt ja niemand b ist negativ, oder a ist positiv.

also a*2^4+b*2^2+16=0 16a+4b=-16 a muss positiv sein, weil die fit nach +oo geht  also ist b=-16-16a und damit sicher negativ.

also hast du insgesamt ax^4-(15+16a)*x^2+16=0

a kannst du nur bestimmen, wenn noch was gegeben ist.

Gruß lul

Answer 2

Das könnte so aussehen:

Text erkannt:

\( A \)

Comments

Ups, die Funktion kommt und geht jeweils ins + Unendliche, knickt also bei -2 und 2 nochmal nach oben, woraus man dann den 4. Grad schließt (richtig? wo kann ich sowas plotten so wie im Bild?) 

Das Bedeutet also, wenn es nur 2 Nullstellen gibt, fallen automatisch die Ungeraden Glieder weg? Und wenn es 3 Nullstellen im 4. Grad gibt?

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f(x)=4/9(x²-4)(x²-9)