Bestimmen Lambda, sodass Matrix A invertierbar ist.

Question

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Aufgabe

Bestimmen Sie alle \( \lambda \in \mathbb{R}, \) für die die folgende Matrix \( A \) invertierbar ist. Bestimmen Sie die Inverse \( A^{-1} \) für diese \( \lambda \)
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {-1} \\ {0} & {1} & {\lambda} \\ {0} & {\lambda} & {1} \end{array}\right) $$

Und da wollte ich fragen, ob man zuerst die Inverse von A mit Lambda (also (A | I ) ) berechenen sollte und dann bei der Identitätsbildung A*A^-1 den Wert für Lambda bestimmen kann oder man das bei der Inversen berechnung den Lambda schon bestimmen kann.

Comments

Du kannst schlecht A^-1 berechnen, wenn es gar nicht existiert. Die unguenstigen Werte für λ muessen entweder vorher bestimmt werden, oder beim Versuch, A^-1 zu berechnen, auffallen.

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Kleine Änderung der Frage:

Ich habe das mit der Berechnung der Determinanten gemacht und kam auf 1-λ^2

also λ ≠ ± 1. ist das richtig so?

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das ist genau richtig.

Answer 1

A heißt regulär, wenn sie intvertierbar ist  ↔ Rang = Dimension (hier 3) ↔ det(A) ≠ 0 ↔ in Dreiecksform keine 0 in der Hauptdiagonale. .

Bringt man A mit dem Gauß-Algorithmus auf Dreiecksform (bei den Umformungen kann man λ≠0 voraussetzen, weil  A für λ= 0 offensichtlich regulär ist), dann ergibt sich:

[1, 1, -1  |  0, 1, λ  |  0, 0, 1 - λ²]     ( | trennt die Matrixzeilen)

A ist also - wie du richtig erkannt hast -  regulär  für  λ ≠ ± 1 

Wendet man unter dieser Voraussetzung den von dir angedeuteten Algorithmus  

( A | I )  →  ( I | A ) an, dann ergibt sich:

A^-1 =  [ 1 , 1/(a - 1) , 1/(1 - a)  |   0 , 1/(1 - a²) , a/(a² - 1)  |   0 , a/(a² - 1) , 1/(1 - a²) ]

Gruß Wolfgang

Comments

wie bist du auf a-1    a^2-1   und 1-a^2 gekommen?