Prüfen, für welche Parameter die Matrix invertierbar ist: Wie gelingt mir die Notation der Lösung?

Question

Aufgabe:

Sei \(A \in \mathbb{R}^{3x3}\) gegeben durch
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -1\\ 0 & 1 & \beta\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\alpha, \beta \in \mathbb{R} $$
Ich soll die Inverse bestimmen und prüfen, für welche Parameter die Matrix invertierbar ist.

Problem/Ansatz:

Hallöchen,

Ich habe ein bisschen gegaußt und diese Inverse herausbekommen. Wenn man sie mit A multipliziert kommt auch der Einheitsvektor raus. Sollte also so weit stimmen.
$$ A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\alpha\beta+2} & \frac{-\alpha}{\alpha\beta+2} & \frac{\alpha\beta+1}{\alpha\beta+2}\\ \frac{b}{\alpha\beta+2} & \frac{2}{\alpha\beta+2} & \frac{-\beta}{\alpha\beta+2}\\ \frac{-1}{\alpha\beta+2} & \frac{\alpha}{\alpha\beta+2} & \frac{1}{\alpha\beta+2} \end{pmatrix} $$
Offenbar können die Parameter keine Werte annehmen die multipliziert miteinander -2 ergeben, da dann der Nenner 0 wird und der Spaß sein Ende hat. Also die Paare: \(\alpha = -1\) und \(\beta = 2\) oder \(\alpha = 1\) und \(\beta = -2\) oder \(\alpha = -2\) und \(\beta = 1\) oder \(\alpha = 2\) und \(\beta = -1\) kommen nicht in Frage.

Wie kann ich dieses Ergebnis mit angemessener Notation darstellen? Ist es überhaupt richtig?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist.

$$\operatorname{det}A=\left|\begin{array}{rrr}1 & \alpha & -1\\0 & 1 & \beta\\1 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & \alpha & -2\\0 & 1 & \beta\\1 & 0 & 1\end{array}\right|=\alpha\beta+2\stackrel{!}{\ne}0\implies \alpha\beta\ne-2$$

Das Produkt aus \(\alpha\) und \(\beta\) muss also ungleich \((-2)\) sein.