Matrix als Produkt zweier Matrizen darstellen

Question

! Ich brauche Hilfe zur Aufgabe:

Meine Gedanken:

Wenn m kleiner als n ist, dann ist Rang nicht voll, und daher A ist nicht invertierbar. aber warum existieren X und Y?

Answer 1

Denk dir doch mal eine 3 x 3 Matrix aus die den Rang 2 hat. und dann versuche die 3 x 3 Matrix durch Multiplikation einer 3 x 2 mit einer 2 x 3 Matrix zu erzeugen

[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] = [1, 2; 4, 5; 7, 8] * [1, 0, -1; 0, 1, 2]

Vielleicht schaust du es dir mal an wie ich diese Matrix zerlegt habe.Du brauchst also nur eine Matrix n x m mit den m linear unabhängigen Spalten und eine Matrix m x n um jede der n Spalten aus diesen linear unabhängigen Spalten zusammen zu setzen.

Linear abhängig bedeutet ja, das sich alle n Vektoren durch linearkombination von m Basisvektoren erzeugen lassen. Nichts anderes macht man hier ja.

Comments

[1, 0, -1; 0, 1, 2] ist ja Basis der "Telefon"-Matrix. Dann kann man A als Produkt der Matrix X (mit den m linear unabhängigen Spalten aus A) und Y (Basis der Matrix A) schreiben. Gilt das für jede nxn Matrix mit Rang m?

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das sollte für jede nxn Matrix gelten. Du kannst das ja noch mal an einer selbst ausgedachten testen und dann probierst du die Erkenntnisse zu notieren.

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ok, das gilt für alle Matrizen, die ich ausprobiert habe. Aber wie kann man das allgemein aufschreiben?

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Ich sitze gerade an einer ähnlichen Aufgabe und würde mich sehr für die Lösung interessieren (falls das noch jemand liest). Denn ich kann es zwar nachvollziehen, schaffe es aber nicht, das allgemein zu notieren...