Zeigen Sie für die randomisierte Summe die 2. Waldsche Gleichung

Question

Seien N, X₁, X₂, ... : Ω → N 0 unabhängige Zufallsvariable, wobei die (X_n)_n∈ℕ identisch verteilt sind. Zeigen Sie für die randomisierte Summe Y =∑^N_n=1 X_n  die 2. Waldsche Gleichung

Var(Y) = E[N]Var(X₁) + (E[X₁])² Var(N). Dabei sei E[X₁²] < ∞, E[N²] < ∞ vorausgesetzt 

Answer 1

Diese Identität kann man mittels erzeugenden Funktionen zeigen, indem man z.B. ausnutzt, dass der Erwartungswert einer ZV der Ableitung der erzeugenden Funktion an der Stelle 1 entspricht. Alles nötige findest du in den beiden Abschitten: https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitserzeugende_Funktion#Momenterzeugung https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitserzeugende_Funktion#Wahrscheinlichkeitserzeugende_Funktionen_von_zuf.C3.A4lligen_SummenViel Erfolg.