Verschiedene Gleichungen lösen wie 4x^2 - 7xy+ 3y^3 = 0

Question

\( 4 x^{2}-7 x y+3 y^{2}=0 \)

\( 5 x^{2}+2 x y-6 y^{2}=1 \)

\( x^{3}+2 x^{2}+3 x+6=0 \)

\( 3 x^{2}=5 x-2 \)

\( \frac{7 x^{2}-9 x+1}{6 x^{2}-13 x+6} \gt 1 \)

\( \log _{ \frac{1}{5} } \frac{4 x+6}{5} \)

\( \frac{4x^2 + 18x - 43}{x^{2}+8 x-9} \lt 3 \)

Answer 1

4·x^2 - 7·x·y + 3·y^2 = 0
x^2 - 7/4·y·x + 3/4·y^2 = 0

Lösung mit pq-Formel

x = -p / 2 ± √((p / 2)^2 - q)
x = 7/8·y ± √(49/64·y^2 - 3/4·y^2)
x = 7/8·y ± √(1/64·y^2)
x = 7/8·y ± 1/8·y

x1 = 3/4·y
x2 = y

Die 2. und 4. kann ebenso mit pq Formel gelöst werden. Probier das zunächst mal alleine.

Comments

x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0

Hier kann man zunächst eine Nullstelle durch probieren suchen. Man sollte eine bei -2 finden. Dann macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema für die Nullstelle.

(x^3 + 2x^2 + 3x + 6) : (x + 2) = x^2 + 3

Weitere Nullstellen gibt es dann bei

x^2 + 3 = 0
x = ±√(-3)

Hier gibt es keine Lösungen in R.

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Auch bei Bruchungleichungen kann eine Polynomdivision nützlich sein

(7·x^2 - 9·x + 1) / (6·x^2 - 13·x + 6) > 1

Fallunterscheidung

Wenn 6·x^2 - 13·x + 6 ≥ 0 dh. x ≤ 2/3 ∨ x ≥ 1.5

7·x^2 - 9·x + 1 > 6·x^2 - 13·x + 6
x^2 + 4x - 5 > 0
x < -5 ∨ x > 1 Schnittmenge mit Fallunterscheidung nehmen
x < -5 ∨ x ≥ 1.5

Wenn 6·x^2 - 13·x + 6 < 0 dh. 2/3 < x < 1.5

7·x^2 - 9·x + 1 < 6·x^2 - 13·x + 6
x^2 + 4x - 5 < 0
-5 < x < 1 Schnittmenge mit Fallunterscheidung nehmen
2/3 < x < 1

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Die andere Bruchungleichung kannst du nach dem gleichen Schema lösen. Die aufgabe mit dem log ist unklar. Da steht ja keine Gleichung. Außerdem scheint das etwas verkehrt formatiert zu sein.

Answer 2

Hi, die erste Gleichung lässt sich leicht faktorisieren:

4*x^2 - 7*x*y + 3*y^2 = 0

4*x^2 - 4*x*y - 3*x*y+ 3*y^2 = 0

4*x*(x - y) - 3*y*(x - y) = 0

(4*x - 3*y)*(x - y) = 0

Die vierte auch:

3*x^2 = 5*x - 2   |   -3*x

3*x^2 - 3*x = 2*x - 2

3*x*(x - 1) = 2*(x - 1)   |   -2*(x - 1)

3*x*(x - 1) - 2*(x - 1) = 0

(3*x - 2)*(x - 1) = 0

Wenn sich dieser Weg zur Lösung einer Gleichung,
so wie hier, anbietet, würde ich sie bevorzugen.

Comments

Auch die dritte Gleichung lässt sich durch Ausklammern lösen:

x^3 + 2*x^2 + 3*x + 6 = 0

x^3 + 3*x + 2*x^2 + 6 = 0

x*(x^2 + 3) + 2*(x^2 + 3) = 0

(x + 2) * (x^2 + 3) = 0   |   : (x^2 + 3) ≠ 0

x + 2 = 0

...

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Die fünfte Gleichung ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung.
Die dabei oft nötigen, aber lästigen, Fallunterscheidungen möchte
man möglichst spät durchführen. Vereinfachungen der Ungleichung,
die noch keine Fallunterscheidung erfordern, führt man daher möglichst
am Anfang aus. Hier könnte das zum Beispiel so aussehen:

(7*x^2 - 9*x + 1) / (6*x^2 - 13*x + 6) > 1

Erweitern der rechten Seite und anschließende Subtraktion derselben ergibt

(x^2 + 4*x - 5) / (6*x^2 - 13*x + 6) > 0

Daraus wird durch Faktorisieren

(x - 1)*(x + 5) / ((x - 2/3)*(x - 3/2)) > 0

Nun lässt sich die Fallunterscheidung anhand der
Vorzeichenkombinationen der Faktoren durchführen.