Grenzwert mit l'Hopital bestimmen

Question

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

p: R -> R sei ein Polynom. Zeige:

lim        |p(x)|*e^-|x| = 0.
|x| -> ∞

Als Tipp habe ich gegeben:

Es genügt zu zeigen, dass für alle n ∈ N₀ gilt:

lim        |xⁿ|*e^-|x| = 0.
|x| -> ∞

Betrachte dafür die Grenzwerte für x -> ∞ und x -> -∞ getrennt.

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Wie bestimme ich denn den Grenzwert von xⁿ ? ∞ⁿ , wie soll ich das behandeln? Wenn n < 0 ist, strebt der Ausdruck gegen 0. Aber ich habe keine konkrete Information, was mit dem n werden soll?

Die e-Funktion geht ja gegen 0.

Answer 1

du sollst nicht den Grenzwert für \(x^n\) bestimmen sondern

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} $$ untersuchen.

Wende dazu n-mal l'Hospital an und du kommst auf den Ausdruck:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 $$

Durch den Betrag reicht es den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu bestimmen. Kannst das natürlich auch per Induktion aufziehen.

Ist dir klar warum nun die ursprüngliche Behauptung daraus folgt? Wenn nein, dann schau dir mal an woraus sich jedes Polynom zusammen setzt.

Gruß