L'Hopital - Grenzwert von ln(x)/x^3

Question

noch eine kurze Frage. Für Grenzwerte wo etwas wie $$ \frac{0}{0} $$ oder $$ \frac{∞}{∞} $$ rauskommt, kann man die Regel von L'Hopital anwenden.

Ich habe das berechnen von Grenzwerten so kennen gelernt, dass man stets auf den höchsten Exponent achtet. So wäre limes (x->∞) von $$ \frac { { x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+{ x } }{ { x }^{ 2 }+5x } $$ doch unendlich, weil das x^3 im zähler überwiegt?

Wenn wir jetzt zu folgendem Bruch kommen:

$$\frac { ln(x+1)+4x }{ { x }^{ 3 }-2x } $$ und x gegen unendlich laufen lassen, müsste doch der Nenner überwiegen und das ganze gegen 0 laufen, da x3 schneller wächst als ln(x+1) oder 4x. Wieso muss hier L'Hopital angewendet werden?

Answer 1

beim ersten kannst du auch L'Hospital anwenden, weil du auch dort den Ausdruck in der Form $$ ''\frac{∞}{∞}'' $$ hättest. Gleiches liegt auch beim zweiten vor. Aber natürlich hast du im Groben schon recht, was bei beiden passiert. Nun gibt es aber auch Fälle wo die Sache leider nicht mehr so wirklich einsichtig wird. Hier mal ein Beispiel, wo man es mit bloßem Hinschauen schwer hat, zu sehen, was der Grenzwert ist:

$$ \lim_{x \to \infty}\frac{e^x\sqrt{x^3}+3^x}{2\cdot 3^x+x^3}=\frac{1}{2} $$

Comments

Bei diesem Beispiel reicht es im Zähler und Nenner durch 3^x zu teilen, um den Grenzwert ablesen zu können.

Answer 2

Wieso muss hier L'Hopital angewendet werden?

Muss man nicht.