Differentialrechnung und L'Hopital Regel

Question

Ich brauche Hilfe, um das zu lösen : )

Bestimmen Sie jeweils die (erste) Ableitung der nachfolgenden Funktionen (auf den jeweiligen Definitionsbereichen).
(i) f(x) = 5 sin(\( \frac{1}{x} \) ) · cos(x⁴ )

(ii) g(x) = 3^5x − 2ln(x³ )


(iii) h(x) = x · e^{-x^2+2}

(iv) u(x) =(x² -3)·(x+1) / x² +2

(b)Graphisches Ableiten: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
f(x) = −\( \frac{1}{3} \)(x²− 9)(x + 3)

in ein Koordinatensystem (mit geeignetem Maßstab) und skizzieren Sie (ohne Rechnung) denVerlauf der ersten und zweiten Ableitung dieser Funktion (im selben Koordinatensystem).

(c)Berechnen Sie durch (mehrmalige) Anwendung der Regeln von l’Hospital den Grenzwert

lim _x→0  \( \frac{sin(x) − x · cos(x)}{x · sin(x)} \)

Überprüfen Sie hierzu (jeweils) zunächst, ob die entsprechenden Voraussetzungen für die
Anwendung erfüllt sind.

Answer 1

1. Produktregel

2. Kettenregel

3. siehe 1.

4. Quotientenregel

zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

\(Z=sin(x)-x*cos(x)\)

\(Z´=cos(x)-[1*cos(x)+x*(-sin(x)]=cos(x)-cos(x)+x*sin(x)\)

\(Z´=x*sin(x)\) →\(x=0\)    \(0*sin(0)=0\)

\(Z´´=sin(x)+x*cos(x)\)→\(x=0\)    \(sin(0)+0*cos(0)=0\)

\(N=x*sin(x)\)

\(N´=sin(x)+x*cos(x)\)→\(x=0\)     \(sin(0)+0*cos(0)=0\)

\(N´´=cos(x)+1*cos(x)+x*(-sin(x)\))  

\(N´´=2*cos(x)-x*sin(x)\)  →\(x=0\) \(2*cos(0)-0*sin(0)=2\)

Grenzwert ist somit 0