ich habe hier wieder mal eine Aufgabe mit einer Lösung die ich nicht ganz verstehe.
Gegeben ist die Potenzreihe:
$$ P(x)\quad :=\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ (n+1)(n+2) } } \cdot \quad { x }^{ n }$$
Nachdem das Quotientenkriterium angewandt wurde, kommen wir darauf das der Potenzradius p = 1/2.
Nun lautet der zweite Teil der Aufgabenstellung wie folgt:
Begründen sie warum P(x) an Stellen z ∈ℂ mit |z| = p absolut konvergiert. Hier verstehe ich die Lösung nicht. Normaler Weise setze ich als X in die Funktion und beweise mit einem der bekannten Kriterien (Majoranten-, Minoranten- oder Leibnitzkriterium) das die Reihe an der Stelle konvergiert oder divergiert.
Die Lösung lautet:
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left| \frac { { 2 }^{ n } }{ (n+1)(n+2) } { z }^{ n } \right| } \quad =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ (n+1)(n+2) } \left| { z }^{ n } \right| } =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n }\quad \cdot { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n } }{ (n+1)(n+2) } } =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ (n+1)(n+2) } } $$
Hier wurde nun die gesamte Reihe in den absoluten Betrag gepackt. Ich gehe davon aus das dies gemacht wurde damit man das z in 1/2 umwandeln kann.
Meine Frage: Wieso kann ich einfach die gesamte Reihe in den Betrag stellen und die Konvergenz nicht um z sondern um dessen Betrag zeigen?
. Hoffe das ist nicht zuviel Text für eine so kurze Frage am Ende.
Gruß,
DunKing
