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Hallo

folgende Aussage soll bewiesen werden:

Bild Mathematik
Induktion mit zwei Summen habe ich noch nicht gemacht, wie geht man hier vor?

Gruß
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Du kennst doch sicher (darfst benutzen)

$$ \sum_{k=1}^{n}{k}= \frac { n*(n+1) }{ 2 } $$

Dann

$$ \sum_{k=n}^{2n}{k} = 3 \sum_{k=1}^{n}{k} $$
erst mal umformen
$$ n+\sum_{k=1}^{2n}{k} = 4 \sum_{k=1}^{n}{k} $$

und jetzt in die bekannte Formel für n bzw. 2n einsetzen:

n + ( 2n*(2n+1))/2   = 4* n*(n+1) / 2

n + n*(2n+1)   = 2n*(n+1)

n + 2n^2 + n = 2n^2 + 2n

passt !

Avatar von 289 k 🚀

Die Formel haben wir noch nicht benutzt, obwohl ich sie noch aus der Schule kenne. Sicherheitshalber kann ich die ja kurz beweisen, das ist nicht viel Arbeit. Danke für die Hilfe, macht Sinn!

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In Wiki findest du eine einfache Merkregel:

  " Eine aritmetische Reihe ist gleich der Anzahl ihrer Glieder, gewichtet mit dem aritmetischen Mittelwert aus dem ersten und letzten Term. "

   Die linke Summe umfasst ( n + 1 ) Glieder. ( 2 n - n = n ; dazu noch das n-te Glied. ) Der Mittelwert beträgt


      linker Mittelwert  =  1/2  (  2  n  +  n  )  =  3/2  n     (  1  )

     linke Summe  =  3/2  n  (  n  +  1  )     (  2  )



     Vergleiche ( 2 ) mit der berühmten Gaußsumme auf der rechten Seite.

     Kleine Anekdote gefällig? ===> Gert Faltings; Träger der ===> Fieldsmedaille. Seine Leistung ist enorm; find ich übrigens viel größer als den Beweis des ===> Fermatsatzes. Faltings hat bewiesen:

   " Alle algebraischen Kurven vom Grade n > 2 können nur endlich viele rationale Nullstellen haben. "
  
    Ich frag mich heute noch, ob der ===> Satz von der rationalen Nullstelle aus Faltings seiner Giftküche stammt ....
   In Interviews wurde Faltings häufig gefragt

    " Glauben Sie, dass man Matematik auch dem laien verständlich machen kann? "
    " Nein; ich habe es nur mit Idioten zu tun ... "

    Solcherlei und ähnliche Antworten führten dazu, dass man ihm den Besuch eines " Höflichkeitskurses " empfahl. Was man am besten sagt, wenn man interviewt wird - darauf hin klappte es auch ganz gut.

Mein Kollege " Martin " vom israelischen ===> Mossad verführte mich, Faltings mal in seinem Max-Planck-Institut anzurufen. Das geht ganz Problem los; der hat keinen Vorzimmerdrachen. Der wird mit dir alleine fertig. Ich fragte ihn

" Sind Sie mit den Arbeiten von Edward Nelson vertraut? "

" Es reicht doch, wenn Sie sie kennen . . . "

Daraufhin dünkte sich Martin mutig; am nächsten Tag rief er selber an. Faltings

" Martin. Ihr Kollege ist ja matematisch durchaus intressiert - obwohl der nur dusselig labert. Dagegen Sie sind weiter nix als ein sensationslüsterner Journalist. "

Warum erzähle ich das alles? Weil wir uns hier miit aritmetischen Folgen beschäftigen. Es kam jetzt wieder in der Spektrum; ein Ami hat bewiesen

" Zu jedem n gibt es eine aritmetische Folge der Länge n , die nur aus Primzahlen besteht. "

Der spiegel wäre nicht der Spiegel, wenn die nicht längst kapiert hätten, wie der Faltings tickt. Im Laufe eines Interviews sprachen sie ihn genau auf dieses Ergebnis an:

" Naa; hat Ihnen da der Kollege den Ruhm vor der Nase weg geschnappt? "

Ein echter Faltings wäre ja gewesen

" Der Originalbeweis des Entdeckers ist chancenlos: ich habe einen trivialen Beweis veröffentlicht . . . "

Nein. Faltings offenbart seine ganzen Minderwertigkeitskomplexe

" Ich halte dieses Teorem nicht für wirklich Wichtig. Weil Primzahlen sind zum Multiplizieren da und nicht zum Addieren ... "

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