Beweis durch vollständige Induktion ∑k=1nk=n(n+1)2

Question

Aufgabe:

Beispiel. Es sei \( A(n) \) die Aussage
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} $$
Offensichtlich ist \( A(1) \) wahr, da \( \sum \limits_{k=1}^{1} k=1=1 \cdot 2 / 2 \) ist. Ist nun \( A(n) \) wahr, dann gilt
$$ \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} k &=\sum \limits_{k=1}^{n} k+(n+1) \\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ &=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{aligned} $$
Also ist auch \( A(n+1) \) wahr. Damit ist gezeigt, dass \( A(n) \) für alle natürlichen Zahlen \( n \) wahr ist.

Ich kenne das Prinzip der vollständigen Induktion, ich verstehe auch jeden Rechenschritt der hier aufgezeigt wird. Ich weiß nur nicht warum die Aussage nun bewiesen ist. Inwiefern beweist der letzte Term, dass der obere für alle natürlichen Zahlen gilt?

Answer 1

A(1) gilt.

Wenn A(n) gilt, gilt auch A(n+1).

Nun setze n=1.

Da A(1) gilt, gilt A(1+1), also A(2).

Nun setze n=2.

....

:-)

Answer 2

Die Aussage \(A(n)\) gilt für alle \(n\in \mathbb{N}\), sofern folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) \(A(1)\) ist wahr

(ii) Für jedes \(n\in \mathbb{N}\) gilt: aus \(A(n)\) folgt \(A(n+1)\).

Denn (i) und (ii) implizieren gemeinsam, dass \(A(2)\) richtig ist. Daraus folgt mit (ii), dass \(A(3)\) auch gilt, und hieraus wiederum, dass \(A(4)\) gilt usw. ad infinitum.

Man kann das überdies auch mit dem Wohlordnungssatz für natürliche Zahlen untermauern.

Answer 3

Das ist wie bei den Dominosteinen.

Wenn ich sicher bin, dass der

n+1 te Stein umfällt, wenn der n te Stein umfällt, (Induktionsschluss)

dann fallen alle Steine um, wenn der erste umfällt. ( Induktionsanfang)

Bitte nicht missverstehen, dies ist kein Beweis, sondern nur eine Veranschauung.

Bevor man auf die Idee mit der vollständigen Induktion kam, wurde immer mit usw, usw argumentiert, und dann hatte man manchmal festgestellt, das es eben nicht so weiter ging. Im Vergleich mit den Dominosteine, diese ab einem Punkt nicht umgefallen sind. Darum kam man auf die Idee, dass es eben für alle n gezeigt werden muss dass es auch für n+1 gilt.

Dies wiederum geht nur in der Theorie, in der Praxis ist es aufregend zu sehen, dass wirklich alle Steine umfallen, weil eben doch die Möglichkeit besteht, dass einige stehen bleiben.

Comments

genau! Das verstehe ich, aber alles was in dieser Rechnung gemacht wurde ist links n+1 und rechts n+1 einzusetzen. Das ist jetzt der Beweis? Dann kann ich das doch theoretisch willkürlich bei jeder Gleichung machen und behaupten "das ist jetzt bewiesen"

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Nein, der Beweis liegt darin zu zeigen, dass, wenn die Aussage für n gilt, nun auch für n+1 gilt.

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Du musst erst beweisen das die Formel weiterhin gilt, wenn du n durch n + 1 ersetzt.

Das würde im Induktionsschritt gemacht.

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ok danke euch vielmals! :)

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Links hat man erst einmal n+1 eingesetzt. Das ist ja nicht verboten.

Dann hat man diese Summe aufgeteilt, das ist auch okay.

Nun fängt die Induktion an denn wir nehmen an, dass die genannte Beziehung für Summe k, k geht von 1 bis n gilt. Dies setzen wir also ein.

Nun stellen wir fest, dass diese Beziehung auch für n+1 gilt.

Darum würde ich auch mit der Induktionsannahme anfangen.

Dann würde ich auf beiden Seiten n+1 addieren, links hätten wir dann die Summe 1 bis n+1 und rechts nach einer kleinen Umformung das gewünschte Ergebnis .

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k} \) =\( \frac{n*(n+1)}{2} \)

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k} \) +(n+1) =\( \frac{n*(n+1)}{2} \) +(n+1)

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k} \)=\( \frac{n*(n+1)}{2} \)+\( \frac{2*(n+1)}{2} \)

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k} \)=\( \frac{(n+2)*(n+1)}{2} \)

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k} \)=\( \frac{(n+1)*(n+2)}{2} \)

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k} \)=\( \frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2} \) wzzw

Answer 4

In der Induktionsvoraussetzung gilt:

$$\sum \limits_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$$

Nun zeigt man das auch folgendes gilt

$$\sum \limits_{k=1}^{n + 1} k = \frac{(n+1)((n+1) + 1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Damit ist gezeigt, dass wenn es für n gilt es auch für n + 1 gilt.