Stammfunktion von cos^2(x)?

Question

Ich suche die Stammfunktion von f(x)=cos^2(x)

Schritt für Schritt mit Erklärung

Danke

Answer 1

cos^2(x)= 1/2 (cos(2x) +1)

-------->

= 1/2 int (cos(2x) +1) dx

= 1/2 (int (cos(2x)) dx + 1/2 int 1 dx

Lösung 1. Integral:

int( cos(2x) dx

z=2x

dz/dx=2

dx=dz/2

---->

=1/2 int cos(z) dz

=1/2  sin(z)+C

=1/2 sin(2x)+C

= 1/2 *1/2 sin(2x)  +x/2 +C

=1/4 sin(2x) +x/2 +C

Answer 2

Ich mache es mal mit der Stammfunktion von SIN^2(x) vor und du machst es mit deiner Funktion nach

∫ SIN(x)^2 dx

∫ SIN(x)·SIN(x) dx

Partielle Integration

∫ SIN(x)·SIN(x) dx = (- COS(x))·SIN(x) - ∫ (- COS(x))·COS(x) dx

∫ SIN(x)^2 dx = - SIN(x)·COS(x) + ∫ COS(x)^2 dx

∫ SIN(x)^2 dx = - SIN(x)·COS(x) + ∫ (1 - SIN(x)^2) dx

∫ SIN(x)^2 dx = - SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx - ∫ SIN(x)^2 dx

2 · ∫ SIN(x)^2 dx = - SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx

2 · ∫ SIN(x)^2 dx = - SIN(x)·COS(x) + x

∫ SIN(x)^2 dx = 1/2·(x - SIN(x)·COS(x)) + c

Comments

Du solltest auf folgendes Ergebnis kommen:

∫ COS(x)² dx = 1/2·(x + SIN(x)·COS(x)) + c 

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Danke für deine Hilfe