Berechnen der Stammfunktion f(x)=(6x+9)cos(x²+3x+5)

Question

ich würde gerne die Stammfunktion von (6x+9)cos(x²+3x+5) wissen.Ich weiß, dass ich hier die Substitution anwenden muss, jedoch bin ich mir bei der Aufgabe nicht sicher wie.Würde mich riesig über Hilfe freuen.(Bitte mit Erklärung falls möglich damit ich es nachvollziehen kann). !

Comments

Hi, der Integrand lässt sich zerlegen zu

$$ f(x) = (6x+9)\cdot\cos(x^2+3x+5) \\= 3\cdot(2x+3)\cdot\cos(x^2+3x+5) $$und eine Substitution nach dem Muster \(v'(x)\cdot u'(v)\).wäre denkbar.

Answer 1

Hi,

arbeite mit der Substitution: x²+3x+5 = u bietet sich an, dann ergibt sich du = (2x+3) dx

Außerdem ist 6x+9 = 3(2x+3)

$$\to \int (6x+9)\cos(x^2+3x+5)\;dx = 3\int(2x+3)\cos(u)\;\frac{du}{2x+3} $$

$$= 3\int\cos(u)\;du =3\sin(u) +c= 3\sin(x^2+3x+5) + c$$

Alles klar?

Grüße

Comments

Das macht einiges klar , danke dir.Bin nur bin 2x+3 gekommen und wusste dann nicht weiter ^^". Danke für die schnelle und ausführliche Antwort :)

Answer 2

Answer 3

Hallo crimenew,

∫  (6x+9) * cos(x²+3x+5)  dx  

=  ∫  3 * (2x+3) cos(x²+3x+5)  dx               

           Substitution:  z = x²+3x+5    →  dz/dx = 2x+3 →  dx = dz / (2x+3

          Einsetzen: 

 =  3 * ∫  (2x+3) cos(z) * dz / (2x+3) 

           Kürzen:

 = 3 * ∫  cos(z) * dz  =  3 * sin(z) + c

         Resubstituieren:

 =  3 * sin(x²+3x+5) + c

Gruß Wolfgang

Answer 4

klammere 3 aus und erhalte

$$3* \int(2x+3)cos(x^2+3x+5)dx $$

Dies ist ein Integral der Form

$$ a*\int g'(x)*f(g(x))dx $$

dessen Lösung aufgrund der Kettenregel der Differentialrechnung $$ a*F(g(x))$$ ist