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Minima-maxima und Stammfunktion.

Es sei f(x) = 1 / √(3x - x²)

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich sowie eventuell vorhandene Minima bzw. Maxima von f.

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f(x).
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f(x) = 1/√(3·x - x^2)

a)
3·x - x^2 > 0
0 < x < 3

D = ]0; 3[

f'(x) = (2x - 3) / (2·((3x - x^2))^{3/2})

Eventuell Minima und Maxima bei
2x - 3 = 0
x = 1.5
f(1.5) = 2/3 (ist ein Minimum wie aus der Skizze ersichtlich)

b)

∫ 1/√(3·x - x^2) dx = ∫ 1/√(9/4 - (x - 3/2)^2) dx

Substitution u = x - 3/2

= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx
9/4 aus der Wurzel ziehen

= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx = 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) dx

Substitution v = 2/3 * u

= 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) = ∫ 1/√(1 - v^2) dx

= sin^{-1}(v)

Resubstituieren

= sin^{-1}(2/3 * u) = sin^{-1}(2/3 * (x - 3/2)) = sin^{-1}(2/3*x - 1)
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Hallo mathecoach,

  mein Matheprogramm liefert mir als Ergebnis

  = - arcsin ( 1 - x/3 )

  mfg Georg

Zeichne mal die Original-Funktion und deine Stammfunktion in ein Koordinatensystem. Und dann frag dich ob die original Funktion eine Ableitung von Deiner Stammfunktion darstellt?

Das sieht in meiner Skizze verkehrt aus.

  hier der Orginalbildschirm des von mir verwendeten renomierten Programms MuPad

  Für diese Integration steckt wohl ein Fehler im Programm.

  mfg Georg

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