f(x) = 1/√(3·x - x^2)
a)
3·x - x^2 > 0
0 < x < 3
D = ]0; 3[
f'(x) = (2x - 3) / (2·((3x - x^2))^{3/2})
Eventuell Minima und Maxima bei
2x - 3 = 0
x = 1.5
f(1.5) = 2/3 (ist ein Minimum wie aus der Skizze ersichtlich)
b)
∫ 1/√(3·x - x^2) dx = ∫ 1/√(9/4 - (x - 3/2)^2) dx
Substitution u = x - 3/2
= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx
9/4 aus der Wurzel ziehen
= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx = 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) dx
Substitution v = 2/3 * u
= 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) = ∫ 1/√(1 - v^2) dx
= sin^{-1}(v)
Resubstituieren
= sin^{-1}(2/3 * u) = sin^{-1}(2/3 * (x - 3/2)) = sin^{-1}(2/3*x - 1)