lim x->∞ (x^x)^{x} und lim x->∞ (x)^{x^x} Grenzwerte zu berechnen.

Question

2a) Berechnen Sie die Grenzwerte

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x^{x}\right)^{x} \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{\left(x^{x}\right)} \)

b) Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

A: die Menge \( \{\cos (n), n \in \mathbb{N}\} \) hat einen Häufigungspunkt

B: die Menge \( \{z \in \mathbb{C}:(|z|-1)(|z|-2)<2\} \) ist beschränkt

Answer 1

lim x->∞ (x^x)^x und lim x->∞ (x)^{x^x} grenzwerte zu berechnen.

Da gibt's nicht viel zu rechnen. Beide wachsen monoton über jede Grenze hinaus ins Unendliche.

A sollte richtig sein, da π irrational ist, kommen immer wieder andere Werte (unendlich viele) zwischen -1 und 1 vor. Da muss mE ein Häufungspunkt dabei sein.

B (|z| -1)(|z| -2) = |z|^2 - 3|z| + 2 <2

|z|(|z| - 3) < 0

Nun muss einer der Faktoren kleiner als 0 sein. Das geht nur, wenn |z|<3 ist. B ist beschränkt.