Minima-maxima und Stammfunktion für f(x) = 1 / Wurzel(3x - x²)

Question

Minima-maxima und Stammfunktion.

Es sei f(x) = 1 / √(3x - x²)

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich sowie eventuell vorhandene Minima bzw. Maxima von f.

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f(x).

Answer 1

f(x) = 1/√(3·x - x^2)

a)
3·x - x^2 > 0
0 < x < 3

D = ]0; 3[

f'(x) = (2x - 3) / (2·((3x - x^2))^{3/2})

Eventuell Minima und Maxima bei
2x - 3 = 0
x = 1.5
f(1.5) = 2/3 (ist ein Minimum wie aus der Skizze ersichtlich)

b)

∫ 1/√(3·x - x^2) dx = ∫ 1/√(9/4 - (x - 3/2)^2) dx

Substitution u = x - 3/2

= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx
9/4 aus der Wurzel ziehen

= ∫ 1/√(9/4 - u^2) dx = 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) dx

Substitution v = 2/3 * u

= 2/3 * ∫ 1/√(1 - (2/3·u)^2)) = ∫ 1/√(1 - v^2) dx

= sin^{-1}(v)

Resubstituieren

= sin^{-1}(2/3 * u) = sin^{-1}(2/3 * (x - 3/2)) = sin^{-1}(2/3*x - 1)

Comments

Hallo mathecoach,

  mein Matheprogramm liefert mir als Ergebnis

  = - arcsin ( 1 - x/3 )

  mfg Georg

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Zeichne mal die Original-Funktion und deine Stammfunktion in ein Koordinatensystem. Und dann frag dich ob die original Funktion eine Ableitung von Deiner Stammfunktion darstellt?

Das sieht in meiner Skizze verkehrt aus.

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  hier der Orginalbildschirm des von mir verwendeten renomierten Programms MuPad

  Für diese Integration steckt wohl ein Fehler im Programm.

  mfg Georg