Differenzenquotient 2. Ableitung - Wie herleiten?

Question

$$ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } f } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( x + h ) - 2 f ( x ) + f ( x - h ) } { h ^ { 2 } } $$

Wie kann ich diese Formel herleiten?

Comments

Leite df / dx = lim_(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h

nochmals nach x ab.

d^2 f/ dx^2 = lim_(h->0)  ( f(x+h+h) - f(x+h))/h  - (f(x+h) - f(x))/h ) h

= lim_(h->0)  ( f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h ) h 

= lim_(h->0)  ( f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h^2

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und wie mache ich das?

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Habe oben inzwischen etwas geübt. Rechne mal nach. Das Resultat scheint im Moment noch um h verschoben zu sein.

Die scheinen einmal h und einmal - h zu nehmen. Warum genau das so sein soll, ist mir im Moment auch nicht klar.

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Folgende zwei Punkte machen die Sache doch etwas heikler als auf den ersten Blick erkennbar :

1. Unter welchen Voraussetzungen gilt die Formel ?
Aus der Existenz des Grenzwertes kann jedenfalls nicht auf die Existenz der zweiten Ableitung geschlossen werden.

2. Eigentlich ist die zweite Ableitung der Grenzwert
lim _k→0 [ lim _h→0 ( ( f(x+k+h) - f(x+k) ) / h )  -  lim _h→0 ( ( f(x+h) - f(x) ) / h ) ]  /  k     falls er existiert.
Warum kann  h = k genommen werden ?

Answer 1

Wir schreiben $$df(x)=f(x+dx)-f(x).$$ Zweimalige Anwendung ergibt $$d^2f(x)=d(df(x))=f(x+2dx)-f(x+dx)-(f(x+dx)-f(x))=f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x).$$ Wenn wir noch \(x+dx\) durch \(x\) ersetzen (\(dx\) ist unendlich klein, da macht's keinen Unterschied) und durch \(dx^2\) teilen, dann haben wir's: $$\frac{d^2f(x)}{dx^2}=\frac{f(x+dx)-2f(x)+f(x-dx)}{dx^2}.$$

Comments

Eine moderne Argumentation (\(f\in C^2\)) geht nebenbei so: $$(1)\qquad f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x+\theta_1h)$$ $$(2)\qquad f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x-\theta_2h)$$ und dann einfach (1) und (2) addieren.