Eine entsprechende Fallunterscheidung ist dem Zwischenwertsatz nicht fremd. In den den meisten Quellen, die ich kenne, werden für den Zwischenwertsatz bei einer stetigen Funktion \(f : [a, b]\to \mathbb{R}\) in gewissem Maße Fälle unterschieden, um die Aussage ordentlich aufschreiben zu können.
1. O.B.d.A. \(f(a) \leq f(b)\) angenommen, und dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(a), f(b)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Damit wird dann eine Fallunterscheidung vermieden, weil man sich einfach auf einen Fall beschränkt.
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2. Es werden die Fälle \(f(a) \leq f(b)\) bzw. \(f(a) \geq f(b)\) unterschieden. Im Fall \(f(a) \leq f(b)\) wird dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(a), f(b)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Im Fall \(f(a) \geq f(b)\) wird dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(b), f(a)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt.
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3. Es wird gesagt, dass es zu jedem \(y\in\left[\min\lbrace f(a), f(b)\rbrace , \max\lbrace f(a), f(b)\rbrace\right]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Dann ist die Fallunterscheidung in gewissem Sinne im Minimum und Maximum versteckt. Aber ja, genau genommen, braucht man dann keine Fallunterscheidung.
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4. Es wird etwas schwammig davon geredet, dass es für jeden Wert \(y\) "zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\)" ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt.
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Natürlich hast du recht, dass es dem Zwischenwertsatz eigentlich relativ egal ist, ob nun \(f(a)\) oder \(f(b)\) größer ist. Insofern kann ich dir recht geben. Ich habe mir auch überlegt, ob ich denn nun eine Fallunterscheidung machen sollte, oder nicht, und habe mich dann dafür entschieden.
Du darfst mir übrigens gerne die von dir bevorzugte Variante des Zwischenwertsatzes, die wohl ohne Fallunterscheidung auskommt, aufschreiben oder mich darauf verweisen.
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In einem Punkt liegst du jedenfalls falsch. Die Stelle des Zwischenwertes liegt NICHT unbedingt im INNEREN des Intervalls \([a, b]\).
Gegenbeispiel:
Betrachte die stetige Funktion \[f : [a, b]\to \mathbb{R}, x\mapsto x\] mit \(a = 0\) und \(b = 1\). Nach Zwischenwertsatz gibt es zu jedem \(y\in [f(a), f(b)] = [f(0), f(1)] = [0, 1]\) ein \(x\in [a, b] = [0, 1]\) mit \(f(x) = y\). Der Wert \(x\) muss jedoch nicht unbedingt im Inneren des Intervalls \([0, 1]\) liegen. Für \(y = 1 \in [0, 1]\) findet man beispielsweise kein \(x\in \left]0, 1\right[\) mit \(f(x) = y\).
Oder meintest du die folgende Variante des Zwischenwertsatzes?
Sei \[f : [a, b]\to \mathbb{R}, x\mapsto x\] eine stetige Funktion. Sei \(m = \min\lbrace f(a), f(b)\rbrace\) und \(M = \max\lbrace f(a), f(b)\rbrace\). Dann gibt es für jedes \(y\in \left]m, M\right[\) ein \(x\in\left]a, b\right[\) mit \(f(x) = y\).