Bestimmtes Integral ohne programmierbaren Taschenrechner lösen.

Question

Hi @ all. Vielleicht könnt ihr mir bei meiner Integralaufgabe weiterhelfen? Bestimmen Sie das bestimmte Integral von: $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { 2 }^{ x } }{ 5+{ 2 }^{ x } }  }$$ Die Lösung soll ohne einen programmierbaren Taschenrechner gelöst werden.  

Answer 1

$$\int_{0}^{1}\frac{2^x}{5+2^x}\\ \text{Subst.}\space z=2^x+5\\\frac{dz}{dx}=2^x\cdot ln(2)\\dx=\frac{dz}{2^x\cdot ln(2)}\\ ⇒\int_{6}^{7}\frac{2^x}{z}\frac{dz}{2^xln(2)}\\ =\frac{1}{ln(2)}\int\frac{1}{z}dz\\ =\frac{1}{ln(2)}\cdot ln|z|\space\Big|_6^7\\ =\frac{1}{ln(2)}\cdot ln(7)-\frac{1}{ln(2)}\cdot ln(6)\\ =\frac{1}{ln(2)}(ln(7)-ln(6))\\\approx 0,2224$$

                       

Comments

Vielen Dank für eure schnelle Hilfe hier! !

Habe den Lösungsweg nachvollziehen können! ! 

Man sieht mal wieder wie einfach Mathematik sein kann; )

Answer 2

Substituiere u=2^x+5, d.h. du = 2^x log(2) dx also dx = du / (2^x log(2)).

Dann bekommst du am Schluss log(2^x+5)/log(2) raus. Dann einsetzen log(2^1+5)/log(2)-log(2^0+5)/log(2)=(log(7)-log(6))/(log(2)=log(7/6)/log(2)

Viel weiter kommst du nicht im Kopf: vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5Ex%2F%285%2B2%5Ex%29+integrate+from+0+to+1