Standardabweichung mithilfe von Gauss Tabelle

Question

In einem Betrieb werden Metallstifte hergestellt, deren durchschnittliches Gewicht bei 6 g liegt. Die Standardabweichung beträgt 0,5 g. Die Gewichte aller hergestellten Metallstifte können als nomalverteilt angenommen werden. Wie groß ist der Anteil derjenigen Metallstifte, deren Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g liegt? (Hinweis: Für x ≥ 0 gilt: Φ(−x) = 1−Φ(x))

Answer 1

Hi, der Anteil berechnet sich zu
$$ \Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) = \\\,\\2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830$$Der unterstrichene Wert ist der abgelesene.

Comments

Kannst du eine kurze Erklärung zu den Rechenschritten abgeben? Komme da nicht ganz mit.

Danke :)

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Ok, ich versuche es mal:

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibe die "Gewichte" (d.h. die Masse) eines Metallstiftes in Gramm. Ihre Werte sind gemäß Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Mittelwert \(6\) und der Standardabweichung \(0.5\). Gefragt ist nach dem Anteil der Metallstifte mit einem Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit

$$ P(5.75\le X \le 6.25) = $$Sie lässt sich durch die Differenz

$$ P(X \le 6.25) - P(X \le 5.75) = $$darstellen. Die beiden oberen Grenzen können nun durch  die beiden Transformationen \(-6\) und \(/0.5\) auf die Verhältnisse der Standardnormalverteilung mit Mittelwert \(0\) und Standardabweichung \(1\) umgerechnet werden:

$$ \Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) = $$Der erste Wert kann bereits den üblichn Tabellen der Standardnormalverteilung entnommen werden, der zweite kann, dem Hinweis zur Symmetrie der Normalverteilung aus der Angabe folgend umgerechnet werden zu

$$ \Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) =  $$Zusammengefasst, abgelesen und ausgerechnet ergibt das

$$ 2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830 $$Ich hoffe, das macht es etwa klarer.