Verständnisfrage zu Gauß-Verteilung und Standardabweichung

Question

Aufgabe:

Es wurde der Durchmesser von 200 Samen bestimmt. Die gemessenen Werte folgen einer Gauß-Verteilung. Der Mittelwert betrug 5,0 mm und die Standardabweichung der Einzelmessung 1,0 mm. Nun wird die Messreihe auf 400 Samen erweitert, wobei der Mittelwert bei 5,0 mm bleibt. Welcher Wert der Standardabweichung der Einzelmessung ist dann am wahrscheinlichsten in der großen Messreihe zu erwarten ?

Problem/Ansatz:

Meine Begründung ist recht primitiv, aber ist es so, dass bei der Gaußverteilung, die Standardabweichung gleich bleibt auch wenn der Umfang der Körner erhöht wird dh. man müssste bei der Aufgabe nichts rechnen ?

Die Standardabweichung würde ich ja nur über die Varianz ermitteln können, aber dazu bräuchte ich ja auch Messwerte der einzelnen Samen.

Answer 1

Aloha :)

Die Standardabweichung \(\sigma\) einer Messreihe gibt die Ungenauigkeit für eine Einzelmessung an. Bei der Berechnung der Varianz \(\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline x\right)^2\) bildest du ja für jeden Messwert \(x_i\) die Differenz zum Mittelwert \(\overline x\) und summierst die Quadrate. Bei der Verdopplung der Messpunkte, halbiert sich in etwa der Vorfaktor \(\frac{1}{n-1}\), dafür verdoppelt sich aber die Summe. Die Standardabweichung bleibt also (fast) gleich. Eine kleine Abweichung ergibt sich daraus, dass sich der Vorfaktor der Varianz nicht exakt halbiert, denn \(\frac{1}{2n-1}/\frac{1}{n-1}=\frac{n-1}{2n-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n-2}\). Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass danach gefragt ist.

Was sich bei Verdopplung von \(n\) ändert, ist die Standardabweichung des Mittelwertes \(\sigma(\overline x)=\frac{1}{\sqrt n}\sigma\). Aber danach war ja nicht gefragt.

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Dankeschön :)

Answer 2

Ich würde ja meinen, das der wahrscheinlichste Wert der Standardabweichung der Erwartungswert der Standardabweichung ist. Nun gilt

$$  \text{E}(S^2) = \sigma^2 $$ d.h. der Schätzer der empirischen Varianz ist erwartungstreu. Leider gilt das nicht für die Standardabweichung, s.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobenvarianz_(Sch%C3%A4tzfunktion) und http://mathworld.wolfram.com/StandardDeviationDistribution.html

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Vielen Dank :-)