Beweisen sie folgende Ungleichung: e^{1/x} < ( ex^2)/(x^2 + x + 1) für x> 1.

Question

Hallo ich tue mir etwas schwer folgende Ungleichung zu beweisen.

Ich kenne die Definition des Mittelwertsatzes , aber wie kommt man damit auf einen Beweis ? Wäre nett wenn mir das jemand zeigen könnte.

Answer 1

Sei \(x > 1 \).Wende auf \( f(t) = e^{\frac{1}{t}} - \frac{et^2}{t^2+t-1} \) im Intervall \([1,x]\) den MWS an.

Damit zeigst du insbesondere, dass es ein \(\xi \in (1,x) \) gibt, so dass:

$$ f(x) = (x-1)f'(\xi) $$

Da \(f'(t) < 0 \) für alle \( t \in [1,x]\) folgt \(f(x) < 0 \) und somit die Behauptung.

Gruß

Comments

Hallo und danke für deine Ausführliche Antwort , Ich hätte 2 fragen :

1) den Funktionswert an der Stelle 1 f(1) hast du weggelassen weil er 0 ist bzw. weil er nicht aufgetaucht ist ?

2) wie kanst du folgern das f´(t) <0 für alle t aus [1,x] ?

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1) Genau :).

2) Berechne die Ableitung. Du erhältst 2 Summanden die negativ bzw. kleiner gleich 0 sind für \(t \geq 1\).

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Ok cool das klingt dann eigentlich nicht so schwer . So fürs verständnis : Bei analogen Aufgaben ; Man gibt am besten alles auf eine Seite und schaut , mit Hilfe des MWS ob die erste Ableitung kleiner /größer je nach dem was gefordert ist , als 0 ist und trifft dann eine Aussage über die ursprüngliche Funktion die , die zu zeigende Aussage beschreibt .

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Bei "analogen Aufgaben" ja, wenn sie genau so gelöst werden können

Nein, wenn die Funktion die gewählt werden soll nicht direkt der Differenz der beiden Ungleichungsseiten entspricht. Man muss sich halt immer vor Augen halten wohin man mit dem MWS will und manchmal muss man halt die passende Funktion finden um die Form der Aufgabe an die Form des MWS anzupassen. Aber keine Sorge, viele Aufgaben sind ziemlich analog ;).

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Wie könnte so ein gegenbeispiel ausschaun?

Ich habe hier z.b noch eine Teilaufgabe einer Aufgabe zu machen die , analog ist und lautet : arctan(x)<x  , x>0 im Intervall [o,x].

und habe das gleiche schema angewandt , jedoch komme ich dann mit f(t)=arctan(t)-x und

f´(t)= 1/(1+t^2) -1 nicht auf das geforderte ">" 0 , da die Null im Intervall [o,x] dabei ist . Da würde dann Gleichheit gelten.

Wäre es da sinvoll einen anderen Ansatz zu wählen?

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Nein das ist doch vollkommen in Ordnung. Für t > 0 hast du doch f'(t) <0.