Wie Matrizenrechnung ausführlich begründen?

Question

Aufgabe a)

Gegeben seien die Matrizen

A =

2	3	-1
-1	2	-1
2	1	1

und

B =

1	0	2
1	-3	1
-2	-1	1

i) Berechnen Sie die Determinante von A, B. Folgern Sie daraus mit Begründung, dass diese Matrizen invertierbar sind.

ii) Berechnen Sie mit Begründung die folgenden Ausdrücke:

det(AB^-1A), det(4AB^-1), det(B^TA^-1B), det((A - B) A^-1)

b) Berechnen Sie in geeigneter Weise mit ausführlicher Begründung die Determinante der folgenden Matrizen:

B =

2	-3	1	1
0	4	-1	-2
1	-2	0	3
0	1	1	3

C =

3	1	2	3	-2
-4	2	1	-4	-2
0	-3	0	0	1
1	0	-1	1	2
2	1	-2	2	2

D =

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

So liebe Community,

die einzelnen Determinanten der Matrizen konnte ich berechnen. Meine Frage ist nun, was genau hier in dem Fall mit "Begründung"  in den Teilaufgaben gemeint ist.

Zur a) i)
Meine Antwort wäre jetzt: 

Da die beiden Determinanten ungleich null sind, sind die Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig. Also hat das dies dazugehörige LGS eine Lösung. Daraus folgt das die Matrix injektiv und somit bijektiv ist.
Deshalb sind beide Matrizen invertierbar.

Würde das so als "Argumentation" ausreichen oder habe ich was vergessen?


Bei der a) ii) verstehe ich irgendwie nicht wirklich, was genau gemeint ist. Ich wende lediglich die Rechengesetze für Matrizen an - Wie soll ich das begründen?

und bei der b) wende ich einfach den Laplace'schen Entwicklungssatz an - Was genau soll man da begründen? Soll ich da meine Rechnung in Worte formulieren oder wie ist das gemeint??

Danke schon mal

Comments

bei b) könntest du begründen warum du welche Methode anwendest,

etwa bei der 1.

Entw. nach der 1. Spalte, weil dort 2 Nullen

(vielleicht treten ja in den Unterdeterminanten sogar die von a wieder auf ?

bei der 2. ebenso nach der 3. Zeile.

und bei der 3. zeigst du, dass sich die 4. Spalte als

Linkomb. der ersten 3 darstellen lässt, also Det = 0.

---

Achso, jetzt habe ich es verstanden - Vielen Dank :)

War schon ganz verwirrt ^^

Answer 1

Zur a) i)
Meine Antwort wäre jetzt: 

Da die beiden Determinanten ungleich null sind, sind die Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig. Also hat das dies dazugehörige LGS eine Lösung. Daraus folgt das die zu der Matrix gehörige lin. Abb.  injektiv und wegen der Dimensionsgleichheit von Definitionsbereich und Zielbereich  bijektiv ist.
Deshalb sind beide Matrizen invertierbar.

vielleicht etwas präziser ( s.0. in rot).

Bei der a) ii) verstehe ich irgendwie nicht wirklich, was genau gemeint ist. Ich wende lediglich die Rechengesetze für Matrizen an - Wie soll ich das begründen?

Genau, mit den Gesetzen begründen. etwa so

det(AB^-1A) = det(A) * det(B) ^-1 * det (A)  wegen Det.multiplikationssatz)

Zahlen einsetzen und fertig.

det(4AB^-1)   hier det ( x * M) = x^n * det (M) beachten

det(B^TA^-1B)       det(M^T) = det(M)  verwenden

det((A - B) A^-1)   ???